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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle (Doctorat LMD), spécialité Mathématiques appliquées, Épreuve : Mesure et Intégrations, Université Mohamed Khider - Biskra, 19/10/2019.

التمرين 1

Mesure μ sur N* définie par μ(A)=Σ_{n∈A}1/n²

#measure-theory#counting-measure#monotone-convergence#series

Soit l'espace mesurable (N∗,P(N∗))(\mathbb N^*,\mathcal P(\mathbb N^*)) et μ:P(N∗)→[0,+∞]\mu:\mathcal P(\mathbb N^*)\to[0,+\infty] la fonction définie par

\end{cases}$$ 1. Prouver que $\mu$ est une mesure sur $(\mathbb N^*,\mathcal P(\mathbb N^*))$ et déterminer les parties $\mu$-négligeables de $\mathbb N^*$. 2. Pour une fonction mesurable positive $f:\mathbb N^*\to[0,+\infty]$, déterminer la limite simple sur $\mathbb N^*$ de la suite de fonctions $$f_n=\sum_{1\le k\le n}f(k)\chi_{\{k\}},$$ où $\chi_{\{k\}}$ est la fonction indicatrice de $\{k\}$. 3. Exprimer $\int f\,d\mu$ à l'aide de $f$.
◀الحل

La fonction μ\mu est clairement positive et μ(∅)=0\mu(\varnothing)=0. Si (Aj)j≥1(A_j)_{j\ge1} est une famille de parties disjointes deux à deux de N∗\mathbb N^*, alors μ(⋃j≥1Aj)=∑n∈∪jAj1n2=∑j≥1∑n∈Aj1n2=∑j≥1μ(Aj),\mu\Big(\bigcup_{j\ge1}A_j\Big)=\sum_{n\in\cup_jA_j}\frac1{n^2}=\sum_{j\ge1}\sum_{n\in A_j}\frac1{n^2}=\sum_{j\ge1}\mu(A_j), car les ensembles sont disjoints. Donc μ\mu est une mesure.

Comme μ({n})=1/n2>0\mu(\{n\})=1/n^2>0 pour tout nn, une partie est de mesure nulle si et seulement si elle ne contient aucun entier. Ainsi les seules parties μ\mu-négligeables sont ∅.\boxed{\varnothing.}

La suite fn=∑k=1nf(k)χ{k}f_n=\sum_{k=1}^n f(k)\chi_{\{k\}} converge simplement vers ff sur N∗\mathbb N^*, car pour tout mm fixé, on a fn(m)=f(m)f_n(m)=f(m) dès que n≥mn\ge m.

Pour l'intégrale, on utilise la définition par fonctions simples puis la convergence monotone :

Donc ∫N∗f dμ=∑n=1∞f(n)n2.\boxed{\int_{\mathbb N^*}f\,d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^2}.}

التمرين 2

Intégrabilité, annulation sur toutes les parties mesurables et critère de queues

#measure-theory#integrability#almost-everywhere#tail-estimate

Soit (X,A,μ)(X,\mathcal A,\mu) un espace mesuré.

  1. Si f:X→[0,+∞]f:X\to[0,+\infty] est une fonction mesurable et μ\mu-intégrable, montrer que
  1. Si f:X→Rf:X\to\mathbb R est une fonction mesurable et μ\mu-intégrable telle que

montrer que f=0f=0 μ\mu-presque partout. 3. Soit (X,A,μ)(X,\mathcal A,\mu) un espace mesuré et f:X→Rf:X\to\mathbb R une application mesurable. (a) Vérifier que pour tout n∈N∗n\in\mathbb N^*, on a

(b) Montrer que si ff est intégrable alors

(c) Que peut-on dire de la réciproque ?

◀الحل

Si f≥0f\ge0 et ∫fdμ=0\int f d\mu=0, alors pour tout ε>0\varepsilon>0, 0=∫fdμ≥∫{f≥ε}fdμ≥εμ({f≥ε}),0=\int f d\mu\ge \int_{\{f\ge\varepsilon\}}f d\mu\ge \varepsilon\mu(\{f\ge\varepsilon\}), donc μ({f≥ε})=0\mu(\{f\ge\varepsilon\})=0. En prenant une réunion sur ε=1/m\varepsilon=1/m, on obtient f=0f=0 p.p. La réciproque est immédiate.

Pour la seconde question, appliquons l'hypothèse à l'ensemble A={f>0}A=\{f>0\}. Alors 0=∫{f>0}fdμ,0=\int_{\{f>0\}}f d\mu, et comme l'intégrande y est positive, on déduit f=0f=0 p.p. sur {f>0}\{f>0\}. De même avec A={f<0}A=\{f<0\}, on obtient f=0f=0 p.p. sur {f<0}\{f<0\}. Donc f=0f=0 p.p.

L'inégalité du point 3(a) est immédiate par définition des indicatrices. En intégrant,

Ceci implique seulement le contrôle de type Markov, μ({∣f∣≥n})≤1n∫∣f∣dμ→0.\mu(\{|f|\ge n\})\le \frac1n\int |f|d\mu\to0. Donc si ff est intégrable, la mesure des queues tend vers 0.

La réciproque est fausse en général : on peut avoir μ({∣f∣≥n})→0\mu(\{|f|\ge n\})\to0 sans que ff soit intégrable.

التمرين 3

Fonction g(x)=Σ 1/(n ln p) χ_{I_n}(x) sur [0,1]

#measurability#integrability#counterexample#lebesgue-measure

Considérons la mesure de Lebesgue λ\lambda sur X=]0,1[X=]0,1[ et l'application g(x)=∑p≥21pln⁡pχIp(x),g(x)=\sum_{p\ge2}\frac{1}{p\ln p}\chi_{I_p}(x), où IpI_p sont des intervalles mesurables disjoints de longueur convenable, et l'on sait que

(a) Montrer que gg est mesurable sur XX. (b) gg est-elle intégrable ? (c) Montrer que

◀الحل

Comme gg est somme dénombrable de fonctions simples mesurables, elle est mesurable.

L'intégrabilité dépend du choix des intervalles IpI_p. Dans le cas classique du sujet, les longueurs sont choisies de sorte que ∫01g(x)dλ(x)=∑p≥21pln⁡pλ(Ip),\int_0^1 g(x)d\lambda(x)=\sum_{p\ge2}\frac{1}{p\ln p}\lambda(I_p), et cette série diverge par comparaison avec ∑p≥21(p−1)ln⁡p=+∞.\sum_{p\ge2}\frac1{(p-1)\ln p}=+\infty. Ainsi gg n'est pas intégrable.

En revanche, pour chaque nn, l'ensemble {∣g∣≥n}\{|g|\ge n\} est réunion d'une queue d'intervalles dont la mesure totale tend vers 0 quand n→∞n\to\infty. Donc lim⁡n→∞λ({∣g∣≥n})=0.\boxed{\lim_{n\to\infty}\lambda(\{|g|\ge n\})=0.} Ce contre-exemple montre que la condition de décroissance des queues n'implique pas l'intégrabilité.