مسابقة دكتوراه 2021 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

1. $T$ continue $\Rightarrow H$ fermé

$H=\mathrm{Ker}(T)=T^{-1}(\{0\})$. Comme $\{0\}$ est fermé dans $\mathbb{R}$ et $T$ est continue, l'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermée. Donc $H$ est fermé dans $E$.

2a. $a+H$ est fermé

La translation $x\mapsto a+x$ est un homéomorphisme de $E$ dans lui-même (bijective, continue, d'inverse continue $y\mapsto y-a$). L'image d'un fermé ($H$) par un homéomorphisme est fermée. Donc $a+H$ est fermé.

2b. $0\notin a+H$

Si $0\in a+H$, il existerait $x\in H$ avec $0=a+x$, soit $a=-x$. Alors $T(a)=-T(x)=0$ car $x\in H=\mathrm{Ker}(T)$. Mais $T(a)=1\ne0$ : contradiction. Donc $0\notin a+H$.

2c. Existence de $r>0$

$a+H$ est fermé (2a) et ne contient pas $0$ (2b), donc son complémentaire est un ouvert contenant $0$. Il existe donc $r>0$ tel que la boule $B(0,r)$ soit entièrement contenue dans ce complémentaire, c'est-à-dire $B(0,r)\cap(a+H)=\varnothing.$ De façon équivalente, pour tout $h\in H$, $\|a+h\|\ge r$ (sinon $a+h\in B(0,r)\cap(a+H)$).

2d. Majoration $|T(x)|\le1$ sur $B(0,r)$

Soit $x\in B(0,r)$ et supposons par l'absurde $t:=T(x)$ vérifie $|t|>1$ (si $t=0$ l'inégalité est triviale). Posons $z=\dfrac{x}{t}$ et $h=z-a$. Alors $T(h)=T(z)-T(a)=\frac{T(x)}{t}-1=1-1=0,$ donc $h\in H$, et $a+h=z=\dfrac{x}{t}$. D'après 2c, $\|a+h\|\ge r$, soit $\Big\|\frac{x}{t}\Big\|\ge r \iff \|x\|\ge r\,|t|.$ Or $|t|>1$, donc $\|x\|\ge r|t|>r$, ce qui contredit $x\in B(0,r)$ (i.e. $\|x\|<r$). Donc nécessairement $|T(x)|\le1$ pour tout $x\in B(0,r)$.

2e. Continuité de $T$ sur $E$

Soit $x\in E$, $x\ne0$. Le vecteur $u=\dfrac{rx}{2\|x\|}$ vérifie $\|u\|=\dfrac r2<r$, donc $u\in B(0,r)$. D'après 2d, $|T(u)|\le1$, soit $\Big|T\Big(\frac{rx}{2\|x\|}\Big)\Big|=\frac{r}{2\|x\|}\,|T(x)|\le1 \iff |T(x)|\le\frac{2}{r}\,\|x\|.$ Cette inégalité est triviale pour $x=0$. Donc $|T(x)|\le\frac2r\|x\|,\qquad\forall x\in E,$ ce qui montre que $T$ est continue sur $E$ (bornée, avec $\|T\|\le2/r$).

$\boxed{H\text{ fermé}\iff T\text{ continue}.}$

1. Le graphe de $Id$ est fermé

Soit $(f_n,f_n)_{n}$ une suite du graphe de $Id$ (i.e. $Id(f_n)=f_n$) convergeant dans $E_1\times E_2$ vers $(f,g)$, c'est-à-dire $\|f_n-f\|_\infty\xrightarrow[n\to\infty]{}0 \qquad\text{et}\qquad \|f_n-g\|\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$

Conséquence de $\|f_n-f\|_\infty\to0$ : la convergence uniforme entraîne la convergence simple, donc $f_n(t)\to f(t)$ pour tout $t\in[0,1]$.

Conséquence de $\|f_n-g\|\to0$ : par l'hypothèse de l'énoncé appliquée à la norme $\|\cdot\|$, on a $f_n(t)\to g(t)$ pour tout $t\in[0,1]$.

Par unicité de la limite dans $\mathbb{R}$, $f(t)=g(t)$ pour tout $t\in[0,1]$, donc $f=g$. Ainsi $(f,g)=(f,f)$ appartient au graphe de $Id$ : le graphe de $Id$ est fermé.

2. Continuité de $Id$

$E_1=(E,\|\cdot\|_\infty)$ et $E_2=(E,\|\cdot\|)$ sont tous deux des espaces de Banach (donné dans l'énoncé), et $Id:E_1\to E_2$ est linéaire à graphe fermé (question 1). D'après le théorème du graphe fermé, $Id$ est continue de $E_1$ dans $E_2$.

3. Continuité de $Id^{-1}$

$Id^{-1}:E_2\to E_1$ est également l'application identité (au niveau ensembliste), de graphe $\{(g,g):g\in E\}\subset E_2\times E_1,$ qui est fermé : c'est l'image du graphe fermé de $Id$ (question 1) par l'homéomorphisme d'échange de coordonnées $(f,f)\mapsto(f,f)$ de $E_1\times E_2$ dans $E_2\times E_1$ (qui préserve les fermés). Comme $E_2$ et $E_1$ sont des Banach, le théorème du graphe fermé s'applique à nouveau : $Id^{-1}$ est continue de $E_2$ dans $E_1$.

(Alternative : $Id:E_1\to E_2$ est une bijection linéaire continue entre espaces de Banach, donc par le théorème de l'application ouverte / de l'inverse borné, $Id^{-1}$ est automatiquement continue.)

4. Équivalence des normes

La continuité de $Id$ (question 2) fournit une constante $C_1>0$ telle que $\|f\|\le C_1\,\|f\|_\infty,\qquad\forall f\in E.$ La continuité de $Id^{-1}$ (question 3) fournit une constante $C_2>0$ telle que $\|f\|_\infty\le C_2\,\|f\|,\qquad\forall f\in E.$ Ces deux inégalités combinées donnent $\boxed{\frac1{C_2}\|f\|_\infty\le\|f\|\le C_1\|f\|_\infty,\qquad\forall f\in E,}$ c'est-à-dire que les normes $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|$ sont équivalentes.

1. Conservation du produit scalaire

En appliquant l'hypothèse d'isométrie avec $y=0$ et $T(0)=0$ : $\|T(x)\|=\|T(x)-T(0)\|=\|x-0\|=\|x\|,\qquad \forall x\in H.$ De même $\|T(y)\|=\|y\|$ pour tout $y\in H$.

Par ailleurs, en développant $\|T(x)-T(y)\|^2=\|x-y\|^2$ : $\|T(x)\|^2-2\langle T(x),T(y)\rangle+\|T(y)\|^2=\|x\|^2-2\langle x,y\rangle+\|y\|^2.$ En substituant $\|T(x)\|=\|x\|$ et $\|T(y)\|=\|y\|$, les termes de norme s'annulent des deux côtés : $-2\langle T(x),T(y)\rangle=-2\langle x,y\rangle,$ d'où $\boxed{\langle T(x),T(y)\rangle=\langle x,y\rangle,\qquad\forall x,y\in H.}$

2. Linéarité de $T$

Additivité. Développons, en utilisant la conservation du produit scalaire (question 1, appliquée à $(x+y,x)$ et $(x+y,y)$ ainsi qu'à $\|T(x+y)\|=\|x+y\|$) : $\|T(x+y)-T(x)-T(y)\|^2=\|T(x+y)\|^2+\|T(x)\|^2+\|T(y)\|^2-2\langle T(x+y),T(x)\rangle-2\langle T(x+y),T(y)\rangle+2\langle T(x),T(y)\rangle.$ En remplaçant chaque terme par son analogue non transformé ($\|T(u)\|=\|u\|$ et $\langle T(u),T(v)\rangle=\langle u,v\rangle$ pour tous $u,v$) : $=\|x+y\|^2+\|x\|^2+\|y\|^2-2\langle x+y,x\rangle-2\langle x+y,y\rangle+2\langle x,y\rangle.$ Or $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$, $\langle x+y,x\rangle=\|x\|^2+\langle x,y\rangle$ et $\langle x+y,y\rangle=\langle x,y\rangle+\|y\|^2$. En substituant : $=\big(\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2\big)+\|x\|^2+\|y\|^2-2\big(\|x\|^2+\langle x,y\rangle\big)-2\big(\langle x,y\rangle+\|y\|^2\big)+2\langle x,y\rangle=0.$ Donc $\|T(x+y)-T(x)-T(y)\|=0$, soit $T(x+y)=T(x)+T(y)$ pour tous $x,y\in H$.

Homogénéité. Pour $\lambda\in\mathbb{R}$, de même : $\|T(\lambda x)-\lambda T(x)\|^2=\|T(\lambda x)\|^2-2\lambda\langle T(\lambda x),T(x)\rangle+\lambda^2\|T(x)\|^2=\|\lambda x\|^2-2\lambda\langle\lambda x,x\rangle+\lambda^2\|x\|^2$ $=\lambda^2\|x\|^2-2\lambda^2\|x\|^2+\lambda^2\|x\|^2=0,$ donc $T(\lambda x)=\lambda T(x)$.

Combinant additivité et homogénéité, $T$ est $\mathbb{R}$-linéaire.