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مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP

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Concours de Doctorat LMD 2018/2019, Option : EDP et Applications, Épreuve : Analyse variationnelle des EDP, Université de Jijel, Faculté des Sciences Exactes et Informatique, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Problème elliptique mixte Dirichlet-Robin : formulation variationnelle

#elliptic-pde#mixed-boundary-conditions#robin-condition#variational-formulation#lax-milgram#trace-theorem

Soit Ω\Omega un ouvert borné connexe de RN\mathbb{R}^N de frontière ∂Ω\partial\Omega assez régulière. On suppose que ∂Ω=Γ0‾∪Γ1‾\partial\Omega=\overline{\Gamma_0}\cup\overline{\Gamma_1} avec Γ0∩Γ1=∅\Gamma_0\cap\Gamma_1=\emptyset, et que la mesure (N−1)(N-1)-dimensionnelle de Γ0\Gamma_0 est non nulle. On considère le problème (1){−div⁡(p(x)∇u(x))+q(x)u(x)=f(x),x∈Ω,u(x)=0,x∈Γ0,p(x)∂u∂ν(x)+σu(x)=g1(x),x∈Γ1,(1)\quad\begin{cases}-\operatorname{div}\big(p(x)\nabla u(x)\big)+q(x)u(x)=f(x),& x\in\Omega,\\ u(x)=0,& x\in\Gamma_0,\\ p(x)\dfrac{\partial u}{\partial\nu}(x)+\sigma u(x)=g_1(x),& x\in\Gamma_1,\end{cases} où f∈L2(Ω)f\in L^2(\Omega), p∈L∞(Ω)p\in L^\infty(\Omega) avec p(x)≥α>0p(x)\ge\alpha>0 p.p., q∈L∞(Ω)q\in L^\infty(\Omega), q≥0q\ge0, σ≥0\sigma\ge0, g1∈L2(Γ1)g_1\in L^2(\Gamma_1) et ν\nu la normale unitaire extérieure.

  1. Donner une formulation variationnelle du problème aux limites (1).
  2. Montrer que cette formulation admet une solution unique.
  3. Montrer que la solution variationnelle est solution du problème aux limites (1).
◀الحل

Espace de travail

V={v∈H1(Ω): v=0 sur Γ0},V=\{v\in H^1(\Omega):\ v=0\ \text{sur }\Gamma_0\}, sous-espace fermé de H1(Ω)H^1(\Omega). Comme ∣Γ0∣>0|\Gamma_0|>0, l'inégalité de Poincaré vaut sur VV : ∥v∥L2≤C∥∇v∥L2\|v\|_{L^2}\le C\|\nabla v\|_{L^2}, donc ∥∇v∥L2\|\nabla v\|_{L^2} est une norme équivalente sur VV.

1. Formulation variationnelle

On multiplie par v∈Vv\in V, on intègre et on applique la formule de Green : ∫Ωp ∇u⋅∇v−∫∂Ωp∂u∂νv+∫Ωquv=∫Ωfv.\int_\Omega p\,\nabla u\cdot\nabla v-\int_{\partial\Omega}p\frac{\partial u}{\partial\nu}v+\int_\Omega quv=\int_\Omega fv. Sur Γ0\Gamma_0, v=0v=0 ; sur Γ1\Gamma_1, p∂u∂ν=g1−σup\frac{\partial u}{\partial\nu}=g_1-\sigma u. D'où : trouver u∈Vu\in V tel que pour tout v∈Vv\in V, a(u,v)=∫Ω ⁣(p ∇u⋅∇v+quv)dx+∫Γ1 ⁣σuv dσ=∫Ωfv dx+∫Γ1g1v dσ=L(v).a(u,v)=\int_\Omega\!\big(p\,\nabla u\cdot\nabla v+quv\big)dx+\int_{\Gamma_1}\!\sigma uv\,d\sigma=\int_\Omega fv\,dx+\int_{\Gamma_1}g_1v\,d\sigma=L(v).

2. Existence et unicité (Lax-Milgram)

Continuité de aa : p,q∈L∞p,q\in L^\infty, le terme de bord se contrôle par le théorème de trace ∥v∥L2(Γ1)≤C∥v∥H1\|v\|_{L^2(\Gamma_1)}\le C\|v\|_{H^1} ; donc ∣a(u,v)∣≤C∥u∥V∥v∥V|a(u,v)|\le C\|u\|_V\|v\|_V. Coercivité : avec p≥αp\ge\alpha, q≥0q\ge0, σ≥0\sigma\ge0 : a(v,v)≥α∫Ω∣∇v∣2≥αCP∥v∥V2.a(v,v)\ge\alpha\int_\Omega|\nabla v|^2\ge\alpha C_P\|v\|_V^2. Continuité de LL : ∣L(v)∣≤∥f∥L2∥v∥L2+∥g1∥L2(Γ1)∥v∥L2(Γ1)≤C∥v∥V|L(v)|\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}+\|g_1\|_{L^2(\Gamma_1)}\|v\|_{L^2(\Gamma_1)}\le C\|v\|_V. Par Lax-Milgram, il existe une unique u∈Vu\in V solution de la formulation variationnelle.

3. Retour au problème fort

En prenant v=φ∈D(Ω)v=\varphi\in\mathcal{D}(\Omega) (nulle au bord), la formulation donne ⟨−div⁡(p∇u)+qu−f,φ⟩=0\langle-\operatorname{div}(p\nabla u)+qu-f,\varphi\rangle=0, donc −div⁡(p∇u)+qu=f dans Ω (au sens D′).-\operatorname{div}(p\nabla u)+qu=f\ \text{dans }\Omega\ (\text{au sens }\mathcal{D}'). En supposant uu assez régulière, on réinjecte dans la formulation et la formule de Green : le terme de volume s'annule, il reste ∫Γ1(p∂u∂ν+σu−g1)v dσ=0\int_{\Gamma_1}\big(p\frac{\partial u}{\partial\nu}+\sigma u-g_1\big)v\,d\sigma=0 pour tout v∈Vv\in V, d'où la condition de Robin p∂u∂ν+σu=g1p\frac{\partial u}{\partial\nu}+\sigma u=g_1 sur Γ1\Gamma_1. La condition u=0u=0 sur Γ0\Gamma_0 vient de u∈Vu\in V. Donc uu résout (1).

التمرين 2

Problème variationnel (P_λ) avec estimation uniforme en λ

#variational-problem#lax-milgram#a-priori-estimate#uniform-bound#neumann-type#coercivity

Soit Ω\Omega un ouvert borné connexe de R2\mathbb{R}^2 à frontière régulière et soit f∈L2(Ω)f\in L^2(\Omega). On considère le problème variationnel (Pλ){Chercher u∈H1(Ω) tel que∫Ω∇u⋅∇v dx+λ(∫Ωu dx)(∫Ωv dx)=∫Ωfv dx∀v∈H1(Ω),(P_\lambda)\quad\begin{cases}\text{Chercher }u\in H^1(\Omega)\text{ tel que}\\ \displaystyle\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\lambda\Big(\int_\Omega u\,dx\Big)\Big(\int_\Omega v\,dx\Big)=\int_\Omega fv\,dx\quad\forall v\in H^1(\Omega),\end{cases} où λ≥1\lambda\ge1. On admet l'inégalité suivante : ∥v∥H1(Ω)2≤C1(∥∇v∥L2(Ω)2+∣∫Ωv dx∣2)∀v∈H1(Ω).\|v\|_{H^1(\Omega)}^2\le C_1\Big(\|\nabla v\|_{L^2(\Omega)}^2+\Big|\int_\Omega v\,dx\Big|^2\Big)\qquad\forall v\in H^1(\Omega).

  1. Montrer que (Pλ)(P_\lambda) admet une solution unique uu et que cette solution vérifie ∥u∥H1(Ω)≤C2∥f∥L2(Ω)\|u\|_{H^1(\Omega)}\le C_2\|f\|_{L^2(\Omega)}, où C2>0C_2>0 est indépendante de λ\lambda.
  2. Montrer qu'il existe une constante C3>0C_3>0, indépendante de λ\lambda, telle que ∣∫Ωu dx∣≤C3λ∥f∥L2(Ω)\Big|\int_\Omega u\,dx\Big|\le\dfrac{C_3}{\lambda}\|f\|_{L^2(\Omega)}.
◀الحل

1. Existence, unicité et estimation uniforme

La forme bilinéaire est aλ(u,v)=∫Ω∇u⋅∇v+λ(∫Ωu)(∫Ωv)a_\lambda(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v+\lambda\big(\int_\Omega u\big)\big(\int_\Omega v\big).

Continuité : ∣aλ(u,v)∣≤∥∇u∥∥∇v∥+λ∣Ω∣ ∥u∥L2∥v∥L2|a_\lambda(u,v)|\le\|\nabla u\|\|\nabla v\|+\lambda|\Omega|\,\|u\|_{L^2}\|v\|_{L^2} (Cauchy-Schwarz sur ∫u\int u), donc continue sur H1H^1 (pour λ\lambda fixé).

Coercivité (uniforme en λ≥1\lambda\ge1) : avec l'inégalité admise et λ≥1\lambda\ge1, aλ(v,v)=∥∇v∥L22+λ∣∫Ωv∣2≥∥∇v∥L22+∣∫Ωv∣2≥1C1∥v∥H12.a_\lambda(v,v)=\|\nabla v\|_{L^2}^2+\lambda\Big|\int_\Omega v\Big|^2\ge\|\nabla v\|_{L^2}^2+\Big|\int_\Omega v\Big|^2\ge\frac1{C_1}\|v\|_{H^1}^2. La constante de coercivité 1/C11/C_1 ne dépend pas de λ\lambda. Par Lax-Milgram, (Pλ)(P_\lambda) a une unique solution u∈H1(Ω)u\in H^1(\Omega).

Estimation : prenons v=uv=u. Alors aλ(u,u)=∫Ωfu≤∥f∥L2∥u∥L2≤∥f∥L2∥u∥H1a_\lambda(u,u)=\int_\Omega fu\le\|f\|_{L^2}\|u\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}\|u\|_{H^1}. Avec la coercivité, 1C1∥u∥H12≤∥f∥L2∥u∥H1 ⇒ ∥u∥H1≤C1∥f∥L2=:C2∥f∥L2,\frac1{C_1}\|u\|_{H^1}^2\le\|f\|_{L^2}\|u\|_{H^1}\ \Rightarrow\ \|u\|_{H^1}\le C_1\|f\|_{L^2}=:C_2\|f\|_{L^2}, avec C2=C1C_2=C_1 indépendante de λ\lambda.

2. Décroissance en 1/λ1/\lambda de la moyenne

Prenons la fonction test constante v≡1∈H1(Ω)v\equiv1\in H^1(\Omega). Alors ∇v=0\nabla v=0 et ∫Ωv=∣Ω∣\int_\Omega v=|\Omega|, donc la formulation donne λ(∫Ωu)∣Ω∣=∫Ωf⋅1 dx=∫Ωf.\lambda\Big(\int_\Omega u\Big)|\Omega|=\int_\Omega f\cdot1\,dx=\int_\Omega f. D'où ∣∫Ωu∣=1λ∣Ω∣∣∫Ωf∣≤1λ∣Ω∣∥f∥L2∥1∥L2=∣Ω∣1/2λ∣Ω∣∥f∥L2=1λ∣Ω∣1/2∥f∥L2.\Big|\int_\Omega u\Big|=\frac{1}{\lambda|\Omega|}\Big|\int_\Omega f\Big|\le\frac{1}{\lambda|\Omega|}\|f\|_{L^2}\|1\|_{L^2}=\frac{|\Omega|^{1/2}}{\lambda|\Omega|}\|f\|_{L^2}=\frac{1}{\lambda|\Omega|^{1/2}}\|f\|_{L^2}. En posant C3=∣Ω∣−1/2C_3=|\Omega|^{-1/2} (indépendante de λ\lambda) : ∣∫Ωu dx∣≤C3λ∥f∥L2(Ω).\boxed{\Big|\int_\Omega u\,dx\Big|\le\frac{C_3}{\lambda}\|f\|_{L^2(\Omega)}.} La moyenne de uu tend vers 00 quand λ→∞\lambda\to\infty : à la limite, uu tend vers la solution de Neumann de moyenne nulle.