مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès au doctorat de mathématiques, Épreuve de mathématiques fondamentales, Sujet 2, Université Mohammed Seddik Benyahia de Jijel, 26/10/2019, durée 1h30.

التمرين 1

Fonction primitive F(x)=∫_0^x |f(t)| dt pour f∈L^p(R)

#Lp-spaces#holder-inequality#dominated-convergence#integrability

Soit $f\in L^p(\mathbb{R})$ avec $1<p<+\infty$ .

Pour tout $x\in]0,+\infty[$ , posons $F(x)=\int_0^x|f(t)|dt.$ Vérifier que $F$ est bien définie et, utilisant l'inégalité de Hölder, montrer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x^{1/p'}}=0,$ où $p'$ est l'exposant conjugué de $p$ .
Pour tout $n\in\mathbb N$ , soit $g_n(t)=\mathbf 1_{]n,+\infty[}(t)|f(t)|^p$ . En utilisant cette suite de fonctions et le théorème de convergence dominée de Lebesgue, montrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_n^{+\infty}|f(t)|^pdt=0.$

◀الحل

Comme $f\in L^p(\mathbb R)$ avec $p>1$ , sa restriction à tout intervalle borné appartient à $L^1$ par Hölder. Donc $F(x)$ est bien définie pour tout $x>0$ .

Pour $x>0$ ,

\le \|f\|_{L^p(\mathbb R)}x^{1/p'}.$$ Cette majoration donne déjà que $F(x)/x^{1/p'}$ est bornée. Pour obtenir la limite nulle, on fixe $A>0$ et écrit $$F(x)=\int_0^A|f|+\int_A^x|f|.$$ Le premier terme est négligeable devant $x^{1/p'}$ quand $x\to\infty$, et le second se majore par $$\left(\int_A^{\infty}|f(t)|^pdt\right)^{1/p}x^{1/p'}.$$ Comme $f\in L^p$, on choisit $A$ tel que la queue $\int_A^{\infty}|f|^p$ soit arbitrairement petite. On en déduit $$\boxed{\lim_{x\to\infty}\frac{F(x)}{x^{1/p'}}=0.}$$ Pour la seconde question, $g_n(t)=\mathbf 1_{]n,\infty[}(t)|f(t)|^p$ converge simplement vers 0 quand $n\to\infty$, et $$0\le g_n(t)\le |f(t)|^p\in L^1(\mathbb R).$$ Par le théorème de convergence dominée de Lebesgue, $$\int_{\mathbb R}g_n(t)dt\to0,$$ c'est-à-dire $$\boxed{\lim_{n\to\infty}\int_n^{\infty}|f(t)|^pdt=0.}$$

التمرين 2

Continuité de l'évaluation A(f)=f(0) selon les normes ||·||∞ et ||·||₁

#continuous-linear-form#sup-norm#L1-type-norm#finite-dimensionality

Soit $E=C([0,1],\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. On définit la forme linéaire

On munit $E$ de la norme $\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.$ Montrer que $A$ est une forme linéaire continue sur $E$ et calculer sa norme.
On munit cette fois $E$ de la norme $\|f\|_1=\int_0^1|f(t)|dt.$ Montrer que $A$ n'est pas continue sur $E$ . Indication : utiliser la suite $f_n(t)=\begin{cases}2n(1-nt),&t\in[0,\frac1n],\\0,&t\in[\frac1n,1].\end{cases}$
En déduire que l'espace $E$ n'est pas de dimension finie.

◀الحل

La linéarité de $A$ est immédiate. Avec la norme uniforme, $|A(f)|=|f(0)|\le\|f\|_\infty,$ donc $A$ est continue et $\|A\|\le1$ . En prenant la fonction constante $f\equiv1$ , on obtient l'égalité, donc $\boxed{\|A\|=1.}$

Pour la norme $\|\cdot\|_1$ , considérons

\end{cases}$$ Alors $$A(f_n)=f_n(0)=2n,$$ tandis que $$\|f_n\|_1=\int_0^{1/n}2n(1-nt)dt=1.$$ Ainsi, si $A$ était continue pour $\|\cdot\|_1$, il existerait $C>0$ tel que $$|A(f_n)|\le C\|f_n\|_1=C,$$ ce qui est impossible car $A(f_n)=2n\to\infty$. Donc $A$ n'est pas continue pour la norme $\|\cdot\|_1$. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et les formes linéaires continues pour l'une le sont pour l'autre. Ici, $A$ est continue pour $\|\cdot\|_\infty$ mais pas pour $\|\cdot\|_1$. Donc $E$ ne peut pas être de dimension finie.

التمرين 3

Singularité et résidu de H(z)=g(z)f'(z)/f(z), nilpotence et trace

#complex-analysis#residue#simple-zero#nilpotent-endomorphism#trace

Soient $f$ et $g$ deux fonctions analytiques (holomorphes) dans tout le plan complexe $\mathbb C$ et

On suppose que $f$ possède un seul zéro simple en $z=2$ dans $\mathbb C$ et que $z=2$ n'est pas un zéro de $g$ .

Quelle est la nature de la singularité de $H(z)$ au point $z=2$ ? Justifier.
Déterminer $\operatorname{Res}_{z=2}(H(z))$ .

Soit ensuite $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb C$ de dimension $n$ et $f:E\to E$ un endomorphisme. Supposons qu'il existe $k_0\in\mathbb N^*$ tel que $f^{k_0}=0$ . 3. Trouver les valeurs propres de $f$ . 4. Montrer que pour tout $k\in\mathbb N^*$ , $\operatorname{tr}(f^k)=0$ . 5. Si $f\ne0$ , est-ce que $f$ est diagonalisable ?

◀الحل

Comme $f$ admet un zéro simple en $z=2$ , on peut écrire $f(z)=(z-2)u(z),\qquad u(2)\ne0,$ d'où

Ainsi $f'/f$ a un pôle simple en $z=2$ , et comme $g(2)\ne0$ , il en va de même pour $H(z)=g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}.$ La singularité de $H$ en 2 est donc un pôle simple, et le résidu vaut $\boxed{\operatorname{Res}_{z=2}(H)=g(2).}$

Si un endomorphisme $f$ est nilpotent, c'est-à-dire $f^{k_0}=0$ , alors toute valeur propre $\lambda$ vérifie $\lambda^{k_0}=0,$ donc $\boxed{\lambda=0.}$ Ainsi, 0 est l'unique valeur propre de $f$ .

Les valeurs propres de $f^k$ sont alors toutes nulles, donc $\operatorname{tr}(f^k)=0$ pour tout $k\ge1$ , puisque la trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité.

Enfin, si $f\ne0$ était diagonalisable, comme son unique valeur propre est 0, sa matrice diagonale serait nulle, donc $f=0$ , contradiction. Donc $\boxed{f\text{ n'est pas diagonalisable si }f\ne0.}$