مسابقة دكتوراه 2023 — Université Mouloud Mammeri

التمرين 1

Intégrale de 1/(x⁴+1) par résidus

#analyse complexe#résidus#intégrale impropre#contour#série de Laurent

Partie 1 — Analyse complexe. On se propose de calculer I = ∫{-∞}^{+∞} dx/(x⁴+1). On note U = C \ {e^{iπ/4}, e^{3iπ/4}, e^{5iπ/4}, e^{7iπ/4}}. 1) Montrer que f:z↦1/(z⁴+1) est définie et holomorphe sur U. 2) Donner les termes d'indice négatif du développement en série de Laurent de f en z=e^{iπ/4} et z=e^{3iπ/4}. 3) Pour R>2, montrer que l'ensemble K_R = {z∈C : Im(z)≥0, |z|≤R, |z-e^{iπ/4}|≥1/2, |z-e^{3iπ/4}|≥1/2} est un compact à bord C¹ par morceaux; décrire ∂K_R comme réunion de quatre arcs paramétrés réguliers de classe C¹. 4) En posant K_R^*={z∈C : Im(z)≥0, |z|≤R}, montrer que lim{R→+∞} ∫_{∂K_R^*} f(z)dz = I. 5) Calculer l'intégrale de f sur les petits cercles entourant les pôles du demi-plan supérieur. 6) En déduire la valeur de I.

Remarque : seuls les deux pôles du demi-plan supérieur contribuent ; l'arc à l'infini s'annule grâce à la décroissance en $1/|z|^4$ .

◀الحل

But. Calculer $I=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^4+1}$ par le théorème des résidus.

1) Pôles. $z^4=-1$ donne quatre pôles simples : $z_k=e^{i\pi(2k+1)/4},\qquad k=0,1,2,3.$ Seuls $z_0=e^{i\pi/4}$ et $z_1=e^{3i\pi/4}$ sont dans le demi-plan supérieur.

2) Contour. On intègre $f(z)=\dfrac{1}{z^4+1}$ sur $[-R,R]\cup C_R$ où $C_R$ est le demi-cercle supérieur de rayon $R$ . Sur $C_R$ : $\left|\int_{C_R} f(z)\,dz\right|\le\frac{\pi R}{R^4-1}\xrightarrow[R\to+\infty]{}0.$

3) Résidus. Pour un pôle simple $z_k$ : $\operatorname{Res}(f,z_k)=\frac{1}{4z_k^{3}}=\frac{z_k}{4z_k^{4}}=-\frac{z_k}{4}\quad(\text{car } z_k^4=-1).$ Donc $\operatorname{Res}(f,z_0)+\operatorname{Res}(f,z_1)=-\frac{1}{4}\left(e^{i\pi/4}+e^{3i\pi/4}\right)=-\frac{1}{4}\,\big(i\sqrt{2}\big)=-\frac{i\sqrt{2}}{4}.$

4) Conclusion. $I=2\pi i\left(-\frac{i\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}=\boxed{\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}}.$