مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mouloud Mammeri

التمرين 1

Variable de densité 1/x sur ]1,e], moments et inégalité de Tchebychev

#probabilités#fonction de répartition#densité#espérance#variance#Tchebychev#loi de Poisson

Soit $X$ une variable aléatoire continue de fonction de répartition $F$ donnée par

F(x)=\begin{cases} 0 & \text{si } x\le 1, \\ \ln(x) & \text{si } 1<x\le e, \\ 1 & \text{si } x>e. \end{cases}

Déterminer la fonction de densité $f$ de la variable aléatoire $X$ .
Calculer $P\big(\tfrac{1}{2}<X<2\big)$ .
Calculer $E[X^n]$ . Déduire l'espérance $E[X]$ et la variance $\operatorname{Var}[X]$ .
Calculer $\beta=P\big(|X-E[X]|\ge 3\big)$ .

Soit $Y$ une variable aléatoire représentant le nombre d'avions arrivant par heure sur un aéroport. On a estimé la moyenne à $E[Y]=3$ et l'écart type $\sigma=2$ .

À l'aide de l'inégalité de Tchebychev, donner une minoration de $P(1\le Y\le 5)$ .
Comparer le résultat avec celui obtenu dans la question 5 en supposant que $Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ , dont on précisera la valeur du paramètre.

(Les deux parties de cet exercice sont indépendantes — $e\simeq 2{,}71$ — calculatrice autorisée.)

Remarque : l'astuce de la question 5 est d'utiliser le caractère entier de $Y$ : $|Y-3|>2\iff |Y-3|\ge 3$ , ce qui permet d'appliquer Tchebychev avec $k=3$ (avec $k=2$ la borne serait triviale). Noter aussi que sous Poisson $(3)$ on aurait $\sigma^2=3\neq 4$ : le modèle n'est pas parfaitement cohérent avec les données estimées.

◀الحل

1. Densité

$F$ est continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable sauf en $1$ et $e$ :

\boxed{f(x)=F'(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } 1<x\le e, \\[1mm] 0 & \text{sinon.} \end{cases}}

On vérifie $\displaystyle\int_1^e \frac{dx}{x}=\ln e=1$ . ✓

2. Probabilité d'un intervalle

P\Big(\tfrac12<X<2\Big)=F(2)-F\Big(\tfrac12\Big)=\ln 2-0=\boxed{\ln 2\approx 0{,}693.}

3. Moments

Pour $n\ge 1$ :

E[X^n]=\int_1^e x^n\cdot\frac{1}{x}\,dx=\int_1^e x^{n-1}\,dx=\boxed{\frac{e^n-1}{n}.}

En particulier :

E[X]=e-1\approx 1{,}718,\qquad E[X^2]=\frac{e^2-1}{2}.

\operatorname{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2=\frac{e^2-1}{2}-(e-1)^2=\boxed{\frac{-e^2+4e-3}{2}\approx 0{,}242.}

4. Calcul de $\beta$

$X\in\,]1,e]$ presque sûrement, donc $X-E[X]=X-(e-1)\in\,]2-e,\,1]$ . Ainsi

|X-E[X]|\le\max(e-2,\,1)=1<3\quad\text{p.s.}

L'événement $\{|X-E[X]|\ge 3\}$ est donc impossible :

\boxed{\beta=0.}

5. Minoration par Tchebychev

$Y$ est à valeurs entières (nombre d'avions), donc

P(1\le Y\le 5)=P(|Y-3|\le 2)=1-P(|Y-3|\ge 3).

L'inégalité de Tchebychev avec $k=3$ donne $P(|Y-3|\ge 3)\le\dfrac{\sigma^2}{9}=\dfrac{4}{9}$ , d'où

\boxed{P(1\le Y\le 5)\ \ge\ 1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\approx 0{,}556.}

6. Comparaison avec le modèle de Poisson

Le paramètre est fixé par la moyenne : $\lambda=E[Y]=3$ . Alors

P(1\le Y\le 5)=e^{-3}\sum_{k=1}^{5}\frac{3^k}{k!}=e^{-3}\Big(3+\frac92+\frac92+\frac{27}{8}+\frac{81}{40}\Big)=\frac{87}{5}\,e^{-3}.

\boxed{P(1\le Y\le 5)\approx 0{,}866.}

La valeur exacte sous le modèle de Poisson ( $\approx 0{,}87$ ) est nettement supérieure à la borne de Tchebychev ( $\approx 0{,}56$ ) : l'inégalité de Tchebychev, universelle, est peu précise.