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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mouloud Mammeri - Tizi Ouzou — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours de Doctorat 2024/2025 — Épreuve : EDO et Calcul de Probabilités (Partie II : Probabilités)

التمرين 1

Variable aléatoire à densité logarithmique et inégalité de Bienaymé–Tchebychev

#probabilités#variable aléatoire continue#fonction de répartition#espérance#variance#inégalité de Tchebychev#loi de Poisson

Partie A

Soit XX une variable aléatoire réelle continue dont la fonction de répartition est donnée par :

F(x)={0si x≤1,ln⁡xsi 1<x≤e,1si x>e.F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 1, \\ \ln x & \text{si } 1 < x \leq e, \\ 1 & \text{si } x > e. \end{cases}

  1. On considère la fonction f(x)=1x+βf(x) = \dfrac{1}{x} + \beta pour x∈ ]1,e]x \in \, ]1, e] et f(x)=0f(x) = 0 ailleurs. Déterminer la valeur de β\beta pour que ff soit une densité de probabilité, puis vérifier que ff est bien la densité associée à FF.
  2. Calculer P(12<X<2)P\left(\dfrac{1}{2} < X < 2\right).
  3. Calculer E[Xn]E[X^n] pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. En déduire E[X]E[X] et Var⁡(X)\operatorname{Var}(X).

Partie B

Soit YY une variable aléatoire à valeurs entières telle que E[Y]=3E[Y] = 3 et Var⁡(Y)=4\operatorname{Var}(Y) = 4.

  1. En utilisant l'inégalité de Bienaymé–Tchebychev, montrer que :

P(1≤Y≤5)≥59.P(1 \leq Y \leq 5) \geq \frac{5}{9}.

  1. On suppose désormais que YY suit une loi de Poisson de paramètre λ=3\lambda = 3. Calculer exactement P(1≤Y≤5)P(1 \leq Y \leq 5) et comparer avec la borne obtenue par l'inégalité de Tchebychev.

Remarque : L'inégalité de Bienaymé–Tchebychev fournit une borne valable pour toute distribution, ce qui explique son manque de précision par rapport au calcul exact. Le passage de {1≤Y≤5}\{1 \leq Y \leq 5\} à {∣Y−3∣<3}\{|Y-3| < 3\} n'est licite que parce que YY est à valeurs entières.

◀الحل

Partie A

1. Détermination de β\beta et vérification de la densité

Pour que ff soit une densité, il faut ∫1e(1x+β)dx=1\displaystyle\int_{1}^{e} \left(\frac{1}{x} + \beta\right) dx = 1, soit :

[ln⁡x+βx]1e=1+β(e−1)=1  ⟹  β=0.\left[\ln x + \beta x\right]_1^e = 1 + \beta(e-1) = 1 \implies \boxed{\beta = 0}.

Ainsi f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} sur ]1,e]]1, e]. On vérifie que F′(x)=1x=f(x)F'(x) = \dfrac{1}{x} = f(x) pour x∈ ]1,e[x \in \, ]1, e[, que FF est continue et croissante, avec F(1)=0F(1) = 0 et F(e)=1F(e) = 1 : ff est bien la densité de XX.

2. Calcul de P(12<X<2)P\left(\frac{1}{2} < X < 2\right)

P(12<X<2)=F(2)−F(12)=ln⁡2−0=ln⁡2≈0,693.P\left(\tfrac{1}{2} < X < 2\right) = F(2) - F\left(\tfrac{1}{2}\right) = \ln 2 - 0 = \boxed{\ln 2 \approx 0{,}693}.

3. Moments

Pour n≥1n \geq 1 :

E[Xn]=∫1exn⋅1x dx=∫1exn−1 dx=en−1n.E[X^n] = \int_1^e x^n \cdot \frac{1}{x}\, dx = \int_1^e x^{n-1}\, dx = \boxed{\frac{e^n - 1}{n}}.

En particulier :

E[X]=e−1,E[X2]=e2−12.E[X] = e - 1, \qquad E[X^2] = \frac{e^2 - 1}{2}.

D'où la variance :

Var⁡(X)=e2−12−(e−1)2=e2−1−2(e−1)22=−e2+4e−32≈0,242.\operatorname{Var}(X) = \frac{e^2-1}{2} - (e-1)^2 = \frac{e^2 - 1 - 2(e-1)^2}{2} = \boxed{\frac{-e^2 + 4e - 3}{2} \approx 0{,}242}.

Partie B

1. Inégalité de Bienaymé–Tchebychev

Comme YY est à valeurs entières, l'événement {1≤Y≤5}\{1 \leq Y \leq 5\} coïncide avec {∣Y−3∣<3}\{|Y - 3| < 3\}. L'inégalité de Bienaymé–Tchebychev donne :

P(∣Y−3∣≥3)≤Var⁡(Y)32=49.P(|Y - 3| \geq 3) \leq \frac{\operatorname{Var}(Y)}{3^2} = \frac{4}{9}.

Par passage au complémentaire :

P(1≤Y≤5)=P(∣Y−3∣<3)≥1−49=59.P(1 \leq Y \leq 5) = P(|Y-3| < 3) \geq 1 - \frac{4}{9} = \boxed{\frac{5}{9}}.

2. Calcul exact avec la loi de Poisson P(3)\mathcal{P}(3)

P(1≤Y≤5)=∑k=15e−33kk!=e−3(3+92+276+8124+243120)=e−3⋅875.P(1 \leq Y \leq 5) = \sum_{k=1}^{5} e^{-3}\frac{3^k}{k!} = e^{-3}\left(3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{6} + \frac{81}{24} + \frac{243}{120}\right) = e^{-3}\cdot\frac{87}{5}.

P(1≤Y≤5)=875e−3≈0,866.\boxed{P(1 \leq Y \leq 5) = \frac{87}{5}e^{-3} \approx 0{,}866.}

La valeur exacte 0,8660{,}866 est nettement supérieure à la borne 59≈0,556\frac{5}{9} \approx 0{,}556 : l'inégalité de Tchebychev est correcte mais peu précise, ce qui est attendu puisqu'elle est universelle (valable pour toute loi de variance donnée).