مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mouloud Mammeri

التمرين 1

Exercice 1 (Tizi-Ouzou 2025, Partie I) — Résolvante d'un système linéaire différentiel et résolution du système (S)

#équations différentielles linéaires#résolvante#système différentiel#exponentielle de matrice

On considère le système différentiel linéaire à coefficients constants $(S):\quad X'(t) = AX(t),\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$

Rappeler la définition de la résolvante (matrice fondamentale) $R(t)$ du système $(S)$ , et montrer qu'elle est donnée par $R(t)=e^{tA}$ .
Calculer explicitement $e^{tA}$ pour la matrice $A$ ci-dessus.
En déduire la solution générale de $(S)$ , puis la solution vérifiant $X(0)=(1,0)^T$ .

$A$ est la matrice de rotation infinitésimale : $e^{tA}$ est exactement la matrice de rotation d'angle $-t$ (ou $t$ selon convention). Analogue matriciel de $e^{it}=\cos t+i\sin t$ .

◀الحل

La résolvante $R(t)$ est l'unique solution matricielle de $R'(t)=AR(t)$ , $R(0)=I$ . Pour un système linéaire à coefficients constants, $R(t)=e^{tA} := \displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{t^k A^k}{k!}$ , qui converge normalement (série entière matricielle) et vérifie bien $\dfrac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}$ par dérivation terme à terme, avec $e^{0\cdot A}=I$ .

Toute solution de $(S)$ s'écrit $X(t)=R(t)X(0) = e^{tA}X(0)$ .

$A^2 = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix} = -I$ . Donc $A$ vérifie $A^2=-I$ , comme l'unité imaginaire !

$e^{tA} = \displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{t^kA^k}{k!}$ . Regroupant par parité : $A^{2k}=(-1)^kI$ , $A^{2k+1}=(-1)^kA$ . Donc $e^{tA} = \Big(\sum_{k\ge0}\dfrac{(-1)^kt^{2k}}{(2k)!}\Big)I + \Big(\sum_{k\ge0}\dfrac{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!}\Big)A = \cos(t)\,I+\sin(t)\,A.$

Donc $e^{tA} = \begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ .

Solution générale : $X(t)=e^{tA}X(0) = \begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0\cos t+y_0\sin t\\-x_0\sin t+y_0\cos t\end{pmatrix}$ .

Pour $X(0)=(1,0)^T$ : $X(t) = (\cos t,-\sin t)^T$ .