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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mouloud Mammeri - Tizi Ouzou — الموضوع 04

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours national d'entrée à la formation doctorale en Mathématiques, année universitaire 2024/2025, spécialité Recherche Opérationnelle, épreuve commune Partie II : Calcul de Probabilités, Université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice — Variable à densité logarithmique et inégalité de Tchebychev

#probability#continuous-random-variable#expectation-variance#chebyshev-inequality#poisson-distribution

Soit XX une variable aléatoire continue de fonction de répartition FF donnée par

F(x)={0si x≤1ln⁡(x)si 1<x≤e1si x>eF(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x) & \text{si } 1 \lt x \leq e \\ 1 & \text{si } x \gt e \end{cases}

  1. (1 pt) Déterminer la fonction de densité ff de la variable aléatoire XX.
  2. (1 pt) Calculer P ⁣(12<X<2)P\!\left(\tfrac{1}{2} \lt X \lt 2\right).
  3. (2 pts) Calculer E[Xn]E[X^n]. En déduire l'espérance E[X]E[X] et la variance Var⁡[X]\operatorname{Var}[X].
  4. (1 pt) Calculer β=P(∣X−E[X]∣≥3)\beta = P(|X - E[X]| \geq 3).

Soit YY une variable aléatoire représentant le nombre d'avions arrivant par heure sur un aéroport. On a estimé la moyenne à E[Y]=3E[Y]=3 et l'écart type σ=2\sigma = 2.

  1. (2 pts) À l'aide de l'inégalité de Tchebychev, donner une minoration de P(1≤Y≤5)P(1 \leq Y \leq 5).
  2. (2 pts) Comparer le résultat avec celui obtenu à la question 5 en supposant que Y∼P(λ)Y \sim \mathcal{P}(\lambda) dont on précisera la valeur du paramètre.

(On rappelle e≃2.71e \simeq 2.71 ; l'usage de la calculatrice est autorisé.)

◀الحل

1. Densité

f=F′f = F' là où FF est dérivable :

f(x)={1xsi 1<x<e0sinon.\boxed{f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } 1 \lt x \lt e \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}}

2. Une probabilité

P ⁣(12<X<2)=F(2)−F(12)=ln⁡2−0=ln⁡2≈0,693.P\!\left(\tfrac12 \lt X \lt 2\right) = F(2) - F(\tfrac12) = \ln 2 - 0 = \boxed{\ln 2 \approx 0{,}693.}

3. Moments

E[Xn]=∫1exn⋅1x dx=∫1exn−1 dx=[xnn]1e=en−1n.E[X^n] = \int_1^e x^n \cdot \frac{1}{x}\,dx = \int_1^e x^{n-1}\,dx = \left[\frac{x^n}{n}\right]_1^e = \frac{e^n - 1}{n}.

Donc E[X]=e−1≈1,718E[X] = e-1 \approx 1{,}718 et E[X2]=e2−12E[X^2] = \dfrac{e^2-1}{2}. D'où

Var⁡[X]=E[X2]−(E[X])2=e2−12−(e−1)2=(e−1)(3−e)2≈0,242.\operatorname{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{e^2-1}{2} - (e-1)^2 = \frac{(e-1)(3-e)}{2} \approx 0{,}242.

E[X]=e−1,Var⁡[X]=(e−1)(3−e)2.\boxed{E[X] = e-1,\qquad \operatorname{Var}[X] = \frac{(e-1)(3-e)}{2}.}

4. Calcul de β\beta

Comme X∈[1,e]X \in [1,e] et E[X]=e−1E[X]=e-1, on a pour tout x∈[1,e]x \in [1,e] : x−E[X]∈[ 2−e, 1 ]⊂[−1,1]x - E[X] \in [\,2-e,\ 1\,] \subset [-1,1], donc ∣X−E[X]∣≤1<3|X-E[X]| \leq 1 \lt 3 presque sûrement. L'événement est impossible :

β=P(∣X−E[X]∣≥3)=0.\boxed{\beta = P(|X-E[X]| \geq 3) = 0.}

5. Minoration par Tchebychev

L'inégalité de Tchebychev donne P(∣Y−μ∣≥k)≤σ2k2P(|Y-\mu| \geq k) \leq \dfrac{\sigma^2}{k^2}. Comme YY est à valeurs entières, 1≤Y≤5  ⟺  ∣Y−3∣≤2  ⟺  ∣Y−3∣<31 \leq Y \leq 5 \iff |Y-3| \leq 2 \iff |Y-3| \lt 3. Avec k=3k=3, μ=3\mu=3, σ2=4\sigma^2=4 :

P(∣Y−3∣≥3)≤49,P(|Y-3| \geq 3) \leq \frac{4}{9},

donc

P(1≤Y≤5)≥1−49=59≈0,556.\boxed{P(1 \leq Y \leq 5) \geq 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556.}

6. Comparaison avec le modèle de Poisson

Si Y∼P(λ)Y \sim \mathcal{P}(\lambda), alors E[Y]=λE[Y]=\lambda, donc λ=3\lambda = 3 (on note que le modèle de Poisson imposerait σ2=λ=3\sigma^2=\lambda=3, légèrement différent de la valeur σ2=4\sigma^2=4 de l'énoncé). La valeur exacte est

P(1≤Y≤5)=e−3∑k=153kk!=e−3(3+92+276+8124+243120)=17,4 e−3≈0,866.P(1 \leq Y \leq 5) = e^{-3}\sum_{k=1}^{5}\frac{3^k}{k!} = e^{-3}\left(3 + \tfrac{9}{2} + \tfrac{27}{6} + \tfrac{81}{24} + \tfrac{243}{120}\right) = 17{,}4\,e^{-3} \approx 0{,}866.

λ=3,P(1≤Y≤5)≈0,866.\boxed{\lambda = 3,\qquad P(1\leq Y\leq 5) \approx 0{,}866.}

Ce résultat exact (≈0,87\approx 0{,}87) est bien plus précis (et supérieur) que la minoration grossière 5/9≈0,565/9 \approx 0{,}56 fournie par Tchebychev, ce qui est cohérent : Tchebychev ne donne qu'une borne inférieure universelle.