📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

⬇️ تحميل☆ حفظ

Mathématiques Générales, Sujet A, 21/10/2017

التمرين 1

Convexité et inégalité de Young

#convexité#Young#Hölder

  1. Donner la définition d'une fonction convexe.

  2. Pour a,b>0a,b>0 et p,q>1p,q>1 tels que 1/p+1/q=11/p+1/q=1, montrer

ab≤app+bqq.ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.

◀الحل

Une fonction ff est convexe si

f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)

pour tous x,yx,y et λ∈[0,1]\lambda\in[0,1].

L'inégalité de Young s'obtient par convexité de l'exponentielle ou en minimisant

ϕ(a)=app−ab+bqq.\phi(a)=\frac{a^p}{p}-ab+\frac{b^q}{q}.

On obtient

ab≤app+bqq,ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},

avec égalité lorsque ap=bqa^p=b^q.

التمرين 2

Applications continues et graphes fermés

#topologie#espace séparé#graphe fermé

  1. Étudier la projection f:R2→Rf:\mathbb R^2\to\mathbb R, f(x,y)=xf(x,y)=x.

  2. Soient E,FE,F des espaces topologiques, FF séparé, et f,g:E→Ff,g:E\to F continues.

a. Montrer que

D={x∈E:f(x)=g(x)}D=\{x\in E:f(x)=g(x)\}

est fermé.

b. Si DD est dense, montrer que f=gf=g.

c. Montrer que le graphe de ff est fermé dans E×FE\times F.

◀الحل

La diagonale

ΔF={(y,y):y∈F}\Delta_F=\{(y,y):y\in F\}

est fermée puisque FF est séparé. Ainsi

D=(f,g)−1(ΔF)D=(f,g)^{-1}(\Delta_F)

est fermé. S'il est dense, alors D=ED=E, donc f=gf=g.

Le graphe de ff est l'ensemble des (x,y)(x,y) tels que f(x)=yf(x)=y. C'est l'ensemble d'égalité de deux applications continues vers FF, donc il est fermé.

التمرين 3

Sous-espaces de polynômes définis par leurs racines

#polynômes#algèbre linéaire#noyau

Soit E=R4[X]E=\mathbb R_4[X].

  1. Déterminer dim⁡E\dim E.

  2. Pour α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb R, étudier

Eα={P∈E:P(α)=0},E_\alpha=\{P\in E:P(\alpha)=0\},

et

Eα,β={P∈E:P(α)=P(β)=0}.E_{\alpha,\beta}=\{P\in E:P(\alpha)=P(\beta)=0\}.

  1. Étudier

fα,β(P)(x)=P(α)x+P(β).f_{\alpha,\beta}(P)(x)=P(\alpha)x+P(\beta).

◀الحل

On a dim⁡E=5\dim E=5. L'application P↦P(α)P\mapsto P(\alpha) est une forme linéaire non nulle, donc

dim⁡Eα=4.\dim E_\alpha=4.

Si α≠β\alpha\ne\beta, les deux évaluations sont indépendantes et

dim⁡Eα,β=3.\dim E_{\alpha,\beta}=3.

Pour P(x)=∑k=04akxkP(x)=\sum_{k=0}^4a_kx^k, la matrice de fα,βf_{\alpha,\beta} vers la base (1,x)(1,x) est

1&\beta&\beta^2&\beta^3&\beta^4\\ 1&\alpha&\alpha^2&\alpha^3&\alpha^4 \end{pmatrix}.$$ Son noyau est $E_{\alpha,\beta}$.