مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

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Analyse Fonctionnelle et Géométrie, Sujet C, 21/10/2017

التمرين 1

Opérateur intégral de rang un sur $L^2(0,1)$

#opérateur de rang un#auto-adjoint#spectre

Soit $\varphi\in C([0,1])$ et

$(Af)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\,dt.$

Montrer que $A$ est linéaire continu sur $L^2(0,1)$ .
Montrer que $A^*=A$ .
Déterminer $\lambda\ge0$ tel que $A^2=\lambda A$ .
Déterminer le rayon spectral et le calculer pour $\varphi(x)=1/(1+x^2)$ .

◀الحل

On écrit

$Af=\langle f,\varphi\rangle\varphi.$

Par Cauchy-Schwarz,

$\|Af\|_2\le\|\varphi\|_2^2\|f\|_2.$

L'opérateur est auto-adjoint et

$A^2f=\|\varphi\|_2^2Af.$

Donc

\qquad r(A)=\lambda.$$ Pour $\varphi(x)=1/(1+x^2)$, $$\lambda=\int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\frac14+\frac{\pi}{8}.$$

التمرين 2

Champ conforme sur une variété riemannienne

#géométrie riemannienne#champ conforme#courbure

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne et $\xi\in\Gamma(TM)$ tel que

$g(\nabla_X\xi,Y)+g(\nabla_Y\xi,X)=2kg(X,Y)$

pour tous champs $X,Y$ , où $k\in\mathbb R$ . Calculer $R(\xi,X)X$ .

◀الحل

Dans le cas homothétique fermé sous-entendu par l'énoncé,

$\nabla_X\xi=kX,$

avec $k$ constant. Ainsi

$R(X,Y)\xi=0.$

Par les symétries du tenseur de courbure,

$g(R(\xi,X)X,Y)=g(R(X,Y)\xi,X)=0$

pour tout $Y$ . Donc

$R(\xi,X)X=0.$

التمرين 3

Espaces normés associés aux bornés absolument convexes

#espace localement convexe#jauge de Minkowski#bornologique

Soit $(E,\xi)$ un espace localement convexe séparé et $\mathcal B$ la famille de ses bornés absolument convexes. Pour $B\in\mathcal B$ , poser

$E_B=\bigcup_{\lambda>0}\lambda B.$

Montrer que $E=\bigcup_{B\in\mathcal B}E_B$ .
Montrer que $B$ est absorbant dans $E_B$ .
Montrer que la jauge $p_B$ est une norme sur $E_B$ .
Montrer que l'injection $J_B:(E_B,p_B)\to(E,\xi)$ est continue.
Étudier la topologie inductive $\tau=\varinjlim_B(E_B,p_B)$ .

◀الحل

Pour $x\in E$ , le segment équilibré convexe

$B_x=\{\lambda x:|\lambda|\le1\}$

est borné, donc $x\in E_{B_x}$ . Par définition, $B$ est absorbant dans $E_B$ .

La jauge

$p_B(x)=\inf\{\lambda>0:x\in\lambda B\}$

est sous-linéaire et équilibrée. Comme $E$ est séparé et $B$ borné, $p_B(x)=0$ implique $x=0$ ; c'est une norme.

Pour toute semi-norme continue $q$ sur $E$ ,

$M_q=\sup_{x\in B}q(x)<\infty,$

$q(x)\le M_qp_B(x).$

Donc $J_B$ est continue. Il en résulte que $\xi\subset\tau$ . Si $E$ est bornologique, toute semi-norme bornée sur les bornés est continue, d'où $\xi=\tau$ .