مسابقة دكتوراه 2025 — Université Ziane Achour - Djelfa — الموضوع 01

1. Pour $t\to0$, $\dfrac{\sin(xt)}{t}e^{-t}\to x$ (limite finie), donc l'intégrande est bornée près de $0$. Pour $t\to\infty$, $\Big|\dfrac{\sin(xt)}{t}e^{-t}\Big|\le e^{-t}$, intégrable. Donc $F(x)$ bien définie pour tout $x$.

Pour la dérivabilité : $\dfrac{\partial}{\partial x}\Big(\dfrac{\sin(xt)}{t}e^{-t}\Big) = \cos(xt)e^{-t}$, dominée par $e^{-t}$ indépendamment de $x$, intégrable sur $(0,\infty)$. Par le théorème de dérivation sous le signe intégrale, $F\in C^1(\mathbb{R})$.

2. $F'(x) = \displaystyle\int_0^\infty \cos(xt)e^{-t}dt$. Calcul classique (partie réelle de $\int_0^\infty e^{(ix-1)t}dt$) : $F'(x) = \mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{1-ix}\right) = \mathrm{Re}\left(\dfrac{1+ix}{1+x^2}\right) = \dfrac{1}{1+x^2}.$

Donc $F(x) = \arctan(x)+C$. Comme $F(0)=0$ (intégrale nulle : $\sin(0)=0$), $C=0$. Donc $\boxed{F(x)=\arctan(x)}$.

3. Considérons $\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\sin t}{t}dt$. On a $F(x)=\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\sin(xt)}{t}e^{-t}dt$. Pour relier à $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}dt$, on utiliserait plutôt la limite $x\to\infty$ après changement de variable $u=xt$ dans une version sans $e^{-t}$, mais ici avec le facteur $e^{-t}$ fixe, on prend la limite quand le paramètre de convergence tend vers $0$ dans une version généralisée $F_\varepsilon(x)=\int_0^\infty\frac{\sin(xt)}{t}e^{-\varepsilon t}dt=\arctan(x/\varepsilon)$ (par le même calcul avec $\varepsilon$ à la place de $1$). En posant $x=1$ et $\varepsilon\to0^+$ : $\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\sin t}{t}e^{-\varepsilon t}dt = \arctan(1/\varepsilon)\to\dfrac\pi2$.

Par convergence dominée généralisée (Abel-Dirichlet, l'intégrale impropre $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}dt$ étant convergente au sens impropre), on obtient $\int_0^\infty\dfrac{\sin t}{t}dt = \dfrac{\pi}{2}.$

1. $f(tx,ty) = \dfrac{|tx|^\alpha|ty|^\beta}{(|tx|+|ty|)^\gamma} = \dfrac{t^{\alpha+\beta}|x|^\alpha|y|^\beta}{t^\gamma(|x|+|y|)^\gamma} = \dfrac{t^\gamma}{t^\gamma}f(x,y) = f(x,y)$ (car $\gamma=\alpha+\beta$). Homogène de degré $0$.

2. Une fonction homogène de degré $0$ non constante prend, sur chaque droite $y=mx$ passant par l'origine, une valeur constante (indépendante de $t$) qui dépend de la pente $m$ : $f(x,mx) = \dfrac{|x|^\alpha|m|^\beta|x|^\beta}{(|x|+|m||x|)^\gamma} = \dfrac{|m|^\beta}{(1+|m|)^\gamma}\quad\text{(constant en }x\ne0\text{)}.$

Cette valeur dépend de $m$ (non constante en $m$ en général, sauf cas dégénéré $\alpha=\beta=0$). Par exemple pour $m=0$ (axe $x$) : $f=0$. Pour $m=1$ : $f=\dfrac{1}{2^\gamma}\ne0$ (si $\gamma>0$). Comme la limite dépend du chemin (de la pente $m$), la limite en $(0,0)$ n'existe pas (sauf si $\alpha$ ou $\beta=0$, cas exclu par hypothèse $\alpha,\beta>0$, où la valeur serait constante $=0$ sur toutes les droites mais il faudrait vérifier plus finement).

3. Bornée : pour $(x,y)\ne(0,0)$, on a par l'inégalité de Young pondérée (ou AM-GM généralisée) : $|x|^\alpha|y|^\beta \le \left(\dfrac{\alpha}{\gamma}|x|+\dfrac{\beta}{\gamma}|y|\right)^\gamma\cdot C_{\alpha,\beta}\le C(|x|+|y|)^\gamma$ par concavité du logarithme (inégalité des moyennes pondérées) : $|x|^\alpha|y|^\beta = (|x|^{\alpha/\gamma})^\gamma(|y|^{\beta/\gamma})^\gamma \le \Big(\dfrac{\alpha}{\gamma}|x|+\dfrac{\beta}{\gamma}|y|\Big)^\gamma \le (|x|+|y|)^\gamma$ (majoration grossière des coefficients $\alpha/\gamma,\beta/\gamma\le1$).

Donc $f(x,y)\le 1$ pour tout $(x,y)\ne(0,0)$, et $f\ge0$ trivialement. $f$ bornée par $[0,1]$.

1. Vérification directe : $C$ envoie $e_1\mapsto e_4$? Vérifions par lignes. $C$ a pour lignes $(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0)$. Alors $C^2$ a lignes issues du produit ; on peut vérifier que $xI+yC+zC^2+tC^3$ reproduit exactement la structure circulante (chaque ligne est le décalage cyclique de la précédente), ce qui correspond à $M(x,y,z,t)$.

2. $C$ vérifie $C^4=I$ (permutation cyclique d'ordre 4). Ses valeurs propres sont les racines quatrièmes de l'unité $\omega_k=i^k=e^{ik\pi/2}$, $k=0,1,2,3$ (soit $1,i,-1,-i$), avec vecteurs propres $v_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\omega_k^3)^T$ (ou une convention équivalente selon l'orientation du décalage). $C$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ (valeurs propres distinctes) : $C=P\,\mathrm{diag}(1,i,-1,-i)\,P^{-1}$.

3. Comme $M=xI+yC+zC^2+tC^3$ est un polynôme en $C$, $M$ est diagonalisable dans la même base que $C$, avec valeurs propres $\lambda_k = x+y\omega_k+z\omega_k^2+t\omega_k^3,\quad k=0,1,2,3,\ \omega_k=i^k.$

Explicitement :

• $\lambda_0 = x+y+z+t$ ($k=0$, $\omega_0=1$)
• $\lambda_1 = x+iy-z-it$ ($k=1$, $\omega_1=i$)
• $\lambda_2 = x-y+z-t$ ($k=2$, $\omega_2=-1$)
• $\lambda_3 = x-iy-z+it$ ($k=3$, $\omega_3=-i$)

Le déterminant est le produit : $\det M = \lambda_0\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = (x+y+z+t)(x-y+z-t)\big[(x-z)^2+(y-t)^2\big]$

(en regroupant $\lambda_1\lambda_3 = (x-z)^2+(y-t)^2$ car $\lambda_1,\lambda_3$ sont conjugués complexes, et $\lambda_0\lambda_2=(x+z)^2-(y+t)^2$... vérification: $\lambda_0\lambda_2=(x+y+z+t)(x-y+z-t)=(x+z)^2-(y+t)^2$). Donc $\det M = \big[(x+z)^2-(y+t)^2\big]\big[(x-z)^2+(y-t)^2\big].$