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مسابقة دكتوراه 2020 — Unknown University — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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Concours national pour l'obtention des bourses de formation doctorale à l'étranger 2019/2020 — Épreuve de spécialité : Algèbre et Analyse (Sujet n° 2)

التمرين 1

Endomorphisme de $F\subset M_2(\mathbb{R})$ : noyau, image, matrice

Soit E=M2(R)E=M_2(\mathbb{R}) et FF le sous-ensemble de EE défini par F={A=(ab−bc)∈E: a,b,c∈R}.F=\left\{A=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & c\end{pmatrix}\in E:\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.

1. Montrer que FF est un sous-espace vectoriel de EE et calculer dim⁡F\dim F.

2. Soit f:F→Ff:F\to F l'application définie par f(ab−bc)=(a+cb−ba−b+c).f\begin{pmatrix} a & b \\ -b & c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b \\ -b & a-b+c\end{pmatrix}. Montrer que ff est un endomorphisme de FF.

3. Trouver une base de ker⁡f\ker f et une base de Im⁡f\operatorname{Im}f. ff est-elle bijective ?

4. Donner la matrice de ff dans la base (E1,E2,E3)(E_1,E_2,E_3) de FF issue de la base canonique de EE.

Remarque : f(E1)=f(E3)f(E_1)=f(E_3) trahit immédiatement la non-injectivité et donne le noyau E1−E3E_1-E_3.

◀الحل

1. Sous-espace et dimension

Avec E1=(1000), E2=(01−10), E3=(0001)E_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\ E_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\ E_3=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}, on a A=aE1+bE2+cE3A=aE_1+bE_2+cE_3. Donc F=Vect⁡(E1,E2,E3)F=\operatorname{Vect}(E_1,E_2,E_3), famille libre : FF est un sous-espace de dimension dim⁡F=3\dim F=3.

2. ff est un endomorphisme

En coordonnées (a,b,c)(a,b,c), f(a,b,c)=(a+c, b, a−b+c)f(a,b,c)=(a+c,\ b,\ a-b+c), qui est linéaire en (a,b,c)(a,b,c) et à valeurs dans FF. Donc ff est un endomorphisme de FF.

3. Noyau, image, bijectivité

f(a,b,c)=0  ⟺  b=0, a+c=0f(a,b,c)=0\iff b=0,\ a+c=0. Donc ker⁡f=Vect⁡(E1−E3)=Vect⁡(100−1),dim⁡ker⁡f=1.\ker f=\operatorname{Vect}\big(E_1-E_3\big)=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad \dim\ker f=1. Par le théorème du rang dim⁡Im⁡f=2\dim\operatorname{Im}f=2, avec Im⁡f=Vect⁡(f(E1),f(E2))=Vect⁡(E1+E3, E2−E3).\operatorname{Im}f=\operatorname{Vect}\big(f(E_1),f(E_2)\big)=\operatorname{Vect}\big(E_1+E_3,\ E_2-E_3\big). Comme ker⁡f≠{0}\ker f\ne\{0\}, ff n'est pas bijective.

4. Matrice de ff

f(E1)=E1+E3f(E_1)=E_1+E_3, f(E2)=E2−E3f(E_2)=E_2-E_3, f(E3)=E1+E3f(E_3)=E_1+E_3, d'où Mat⁡(E1,E2,E3)(f)=(1010101−11).\boxed{\operatorname{Mat}_{(E_1,E_2,E_3)}(f)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix}.} Ses deux colonnes 11 et 33 sont égales, ce qui confirme det⁡f=0\det f=0.

التمرين 2

Éléments simples, primitive et EDO linéaire $xy'-y=\frac{2x^2}{1-\tan x}$

1. Décomposer en éléments simples la fonction f(u)=2(u−1)(1+u2).f(u)=\frac{2}{(u-1)(1+u^2)}.

2. Calculer l'intégrale I=∫f(u) duI=\displaystyle\int f(u)\,du.

3. Résoudre l'équation différentielle xy′−y=2x21−tan⁡x.xy'-y=\frac{2x^2}{1-\tan x}.

Remarque : l'astuce décisive pour la question 3 est d'écrire 2cos⁡x2\cos x comme combinaison de cos⁡x−sin⁡x\cos x-\sin x et de sa dérivée, ce qui fait apparaître une primitive logarithmique.

◀الحل

1. Décomposition en éléments simples

On cherche 2(u−1)(1+u2)=Au−1+Bu+C1+u2\dfrac{2}{(u-1)(1+u^2)}=\dfrac{A}{u-1}+\dfrac{Bu+C}{1+u^2}. En identifiant 2=A(1+u2)+(Bu+C)(u−1)2=A(1+u^2)+(Bu+C)(u-1) : A=1,B=−1,C=−1.A=1,\quad B=-1,\quad C=-1. f(u)=1u−1−u+11+u2.\boxed{f(u)=\frac{1}{u-1}-\frac{u+1}{1+u^2}.}

2. Primitive

I=∫duu−1−∫u1+u2 du−∫du1+u2=ln⁡∣u−1∣−12ln⁡(1+u2)−arctan⁡u+K.I=\int\frac{du}{u-1}-\int\frac{u}{1+u^2}\,du-\int\frac{du}{1+u^2}=\ln|u-1|-\tfrac12\ln(1+u^2)-\arctan u+K.

3. Équation différentielle

Sur un intervalle où x≠0x\ne0, l'équation s'écrit y′−yx=2x1−tan⁡xy'-\dfrac{y}{x}=\dfrac{2x}{1-\tan x}. Le facteur intégrant est 1x\dfrac1x (e−∫dx/xe^{-\int dx/x}) : (yx)′=21−tan⁡x=2cos⁡xcos⁡x−sin⁡x.\left(\frac{y}{x}\right)'=\frac{2}{1-\tan x}=\frac{2\cos x}{\cos x-\sin x}. En écrivant 2cos⁡x=(cos⁡x−sin⁡x)−(−sin⁡x−cos⁡x)2\cos x=(\cos x-\sin x)-(-\sin x-\cos x), soit 2cos⁡xcos⁡x−sin⁡x=1−(cos⁡x−sin⁡x)′cos⁡x−sin⁡x\dfrac{2\cos x}{\cos x-\sin x}=1-\dfrac{(\cos x-\sin x)'}{\cos x-\sin x} : yx=x−ln⁡∣cos⁡x−sin⁡x∣+C.\frac{y}{x}=x-\ln|\cos x-\sin x|+C. y(x)=x2−xln⁡∣cos⁡x−sin⁡x∣+Cx,C∈R.\boxed{y(x)=x^2-x\ln|\cos x-\sin x|+Cx,\qquad C\in\mathbb{R}.}