مسابقة دكتوراه 2023 — Unknown University — الموضوع 01

1. L'ensemble

$D_\varepsilon$ est la couronne (anneau) centrée à l'origine, comprise entre les cercles de rayons $\varepsilon$ et $1$.

2. Aire

$\operatorname{Aire}(D_\varepsilon)=\pi(1^2-\varepsilon^2)=\pi(1-\varepsilon^2).$

3. Calcul de $I_\varepsilon(\alpha)$

En coordonnées polaires, $I_\varepsilon(\alpha)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\frac{r}{r^{2\alpha}}\,dr\,d\theta=2\pi\int_\varepsilon^1 r^{1-2\alpha}\,dr.$

• Si $\alpha\ne1$ : $\displaystyle I_\varepsilon(\alpha)=\frac{\pi\,(1-\varepsilon^{\,2-2\alpha})}{1-\alpha}.$
• Si $\alpha=1$ : $\displaystyle I_\varepsilon(1)=2\pi\int_\varepsilon^1\frac{dr}{r}=2\pi\ln\frac1\varepsilon.$

4. Limite quand $\varepsilon\to0^+$

• Si $0<\alpha<1$ : $2-2\alpha>0$, donc $\varepsilon^{2-2\alpha}\to0$ et $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}I_\varepsilon(\alpha)=\frac{\pi}{1-\alpha}$.
• Si $\alpha\ge1$ : la limite vaut $+\infty$.

L'intégrale sur le disque unité converge donc si et seulement si $0<\alpha<1$, avec valeur $\dfrac{\pi}{1-\alpha}$.

5. Intégrale triple ($0<\alpha<1$)

Par Fubini, $B$ étant le cylindre (disque unité)$\times[1,2]$ : $\iiint_B\frac{z^\alpha}{(x^2+y^2)^\alpha}\,dV=\left(\int_1^2 z^\alpha\,dz\right)\left(\iint_{x^2+y^2\le1}\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2)^\alpha}\right)=\frac{2^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}\cdot\frac{\pi}{1-\alpha}.$ $\boxed{\iiint_B\frac{z^\alpha}{(x^2+y^2)^\alpha}\,dV=\frac{\pi\,(2^{\alpha+1}-1)}{(\alpha+1)(1-\alpha)}.}$

Convergence dominée

Posons $h_n(x)=f\!\left(1+\dfrac{x}{n^2}\right)g(x)\,\mathbf 1_{[-n,n]}(x)$.

Convergence ponctuelle. Pour $x$ fixé, $1+\dfrac{x}{n^2}\to1$ et $f$ est continue en $1$, donc $f\!\left(1+\dfrac{x}{n^2}\right)\to f(1)$ ; de plus $\mathbf 1_{[-n,n]}(x)\to1$. Ainsi $h_n(x)\to f(1)g(x)$.

Domination. $f$ est bornée par $M=\sup|f|$, donc $|h_n(x)|\le M\,|g(x)|$, fonction intégrable indépendante de $n$.

Par le théorème de convergence dominée, $\boxed{\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{n} f\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)g(x)\,dx=f(1)\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\,dx.}$

1. Séparation des variables

Avec $u(x,t)=V(x)e^{i\lambda t}$ : $u_{tt}=-\lambda^2 V e^{i\lambda t}$ et $u_{xx}=V''e^{i\lambda t}$, d'où $-\lambda^2 V=c^2 V''\ \Longrightarrow\ V''+\frac{\lambda^2}{c^2}V=0.$ Les conditions $u(0,t)=u(L,t)=0$ donnent $V(0)=V(L)=0$. Donc $V(x)=A\sin\!\big(\tfrac{\lambda}{c}x\big)$ avec $\sin\!\big(\tfrac{\lambda}{c}L\big)=0$, soit $\lambda_n=\frac{n\pi c}{L},\qquad V_n(x)=\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big),\quad n\ge1.$ Les modes propres sont $u_n(x,t)=\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)e^{i\lambda_n t}$ ; la solution réelle générale est $u(x,t)=\sum_{n\ge1}\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)\Big(a_n\cos\tfrac{n\pi c t}{L}+b_n\sin\tfrac{n\pi c t}{L}\Big),$ avec, par les conditions initiales, $a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_n=\frac{2}{n\pi c}\int_0^L g(x)\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,dx.$

2. Unicité (méthode de l'énergie)

Soit $w$ la différence de deux solutions : elle vérifie $(P)$ avec $f=g=0$. Posons $E(t)=\frac12\int_0^L\big(w_t^2+c^2 w_x^2\big)\,dx.$ Alors $E'(t)=\int_0^L\big(w_t w_{tt}+c^2 w_x w_{xt}\big)dx=c^2\big[w_t w_x\big]_0^L=0$ (car $w_t=0$ en $x=0,L$). Donc $E$ est constante ; comme $E(0)=0$, on a $E(t)=0$, d'où $w_t=w_x=0$ et $w\equiv0$. La solution est unique.