مسابقة دكتوراه 2017 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

Partie A : Modèles Stochastiques (10 points). Durée : 1H00.

1. Déterminer la constante $K_\theta$, en fonction du paramètre $\theta$ $(0 < \theta < 1)$, pour que la fonction

$$p(x, \theta) = K_\theta\,\frac{\theta^x}{x}$$

de l'entier $x$ définisse une loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ sur les entiers positifs.

2. Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$.

3. On considère $n$ observations indépendantes $X_1, X_2, \ldots, X_n$ issues de la variable aléatoire $X$. Trouver l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre $\theta$.

Pour tester la résistance d'un câble, on teste un ensemble de câbles tous identiques, de la même manière suivante : à chaque câble on applique des tractions successives augmentant de 1 kg à chaque essai, jusqu'à ce qu'il casse. On a pu ainsi établir les probabilités suivantes : $p_n =$ probabilité de rupture d'un câble sachant que la traction est de $n$ kg, avec $p_0 = 0$ et $\lim_{n \to \infty} p_n = l > 0$ ; les résultats des essais successifs sont indépendants entre eux.

On considère les états suivants :

• $n$ si la traction est de $n$ kg $(n \ge 1)$ ;
• $0$ si la traction est nulle ou si le câble vient de casser (un autre câble va alors être testé) et les autres étapes correspondent aux essais de traction successifs.

Soit $X_i$ l'état du système à l'étape n°$i$.

a) Montrer que $(X_i)_i$ est une chaîne de Markov homogène, et écrire sa matrice de transition. Discuter la classification des états.

b) Étudier le comportement asymptotique de la chaîne.

c) On s'intéresse à la loi de la variable aléatoire $Y$ « Traction maximale d'un câble avant rupture ». Comment déduit-on la loi de $Y$ des probabilités :

$$f_0^{(n)} = P(\text{1er retour à l'état } 0 \text{ a lieu à l'étape } n \mid X_0 = 0).$$

Calculer cette probabilité et montrer que l'état $0$ est récurrent.

Nicolas Bernoulli a proposé en 1713 à Rémond de Montmort un jeu qui lui paraissait insoluble : « Un père veut donner les étrennes à son fils et lui dit : Je vais mettre dans ma main un nombre de jetons 2, 1 ou 0 comme je le jugerai à propos. Cela fait :

• si vous nommez pair et qu'il y a deux jetons dans ma main, je vous donnerai deux (2) DA ;
• si vous nommez impair et qu'il y a deux jetons dans ma main, vous me donnerez un (1) DA ;
• si vous nommez pair et qu'il y a un jeton dans ma main, vous me donnerez un (1) DA ;
• si vous nommez impair et qu'il y a un jeton dans ma main, vous aurez un (1) DA ;
• si vous nommez pair et qu'il n'y a aucun jeton dans ma main, vous me donnerez deux (2) DA ;
• si vous nommez impair et qu'il n'y a aucun jeton dans ma main, vous me donnerez $(t)$ DA ; »

où $t \ge 0$ est un nombre réel non négatif.

1. Construire le modèle de jeu correspondant.

(a) Quels sont les qualificatifs qu'on peut associer à ce jeu ? Rappeler les définitions des concepts de solution du jeu construit.

 i. Calculer les stratégies dominantes pour le père en fonction des valeurs de $t \in [0, +\infty[$.

 ii. Mêmes questions pour le fils.

 iii. Dessiner le graphe des fonctions des valeurs inférieure $\underline{V}(t)$ et supérieure $\overline{V}(t)$ du jeu sur la même figure.

 iv. Déterminer les stratégies de sécurité des deux joueurs en fonction de $t$.

 v. Discuter l'existence d'un point-selle du jeu en stratégies pures en fonction de $t$.

(b) Pour $t = \frac{1}{2}$,

 i. Résoudre le jeu en stratégies mixtes. En déduire la valeur mixte du jeu, les stratégies mixtes de sécurité des joueurs.

2. On suppose maintenant que le père joue avant le fils et l'informe du nombre de jetons cachés dans sa main.

(a) Construire le modèle de jeu correspondant.

(b) Quels sont les qualificatifs qu'on peut associer à ce jeu ?

(c) Donner la solution du jeu.

N.B. La question 2 peut être traitée indépendamment de la question 1.