مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة بجاية — الموضوع 01

Rappels : Si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ alors la fonction $F : x \mapsto \int_0^x f(t)\,dt$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, et la fonction $\arctan$ est impaire.

Soit $f$ la fonction réelle définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\arctan(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

1. Montrer que $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f'(x)$.

2. En faisant une intégration par parties, montrer que $\forall x \in \mathbb{R}_+^*$ on a

$$\int_0^x \frac{t^2}{(1+t^2)^2}\,dt = -\frac{1}{2}x^2 f'(x).$$

3. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. Soit $g$ la fonction réelle définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

(a) Montrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et paire.

(b) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) \le g(x) \le 1$ et $\forall x \in \mathbb{R}^*$, on a

$$g'(x) = \frac{1}{x}\left[f(x) - g(x)\right].$$

(c) Sachant que $\forall x \in \mathbb{R}$, $|g'(x)| \le \frac{1}{2}$, montrer que l'équation $g(x) = x$, $x \in \mathbb{R}$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,1]$.

(d) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite réelle définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et $u_{n+1} = g(u_n)$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.

 i. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha|$.

 ii. Montrer que la suite $(u_n)_n$ est convergente puis déterminer sa limite.

(e) On considère l'équation différentielle (en $y = y(x)$) suivante :

$$x^2 y' + xy = \arctan(x) \quad (\mathcal{E}_1)$$

Exprimer les solutions de l'équation différentielle $(\mathcal{E}_1)$ en fonction de $g$.