مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

On dispose de $n$ points $(x_i, y_i)$, $i = 1, \ldots, n$ et on suppose que la fonction modèle est de la forme

$$f(x, \beta_0) = \beta_0.$$

Trouver $\beta_0$ minimisant la quantité

$$S(\beta_0) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - f(x_i, \beta))^2.$$

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & -\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\beta & \alpha & 1 \end{pmatrix}$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta$ a-t-on $\rho(J) < 1$ ? ($J$ est la matrice de Jacobi associée à $A$)

2. On suppose $\alpha = \beta = \frac{1}{2}$ et $x^{(0)} = (2\ 2\ 2)^t$.

2.1 La méthode de Jacobi est-elle convergente ?

2.2 Montrer que $x^{(k)} = (1\ 1\ 1)^t$, $\forall k \ge 1$.

3. Soit $\alpha = 0$ et $\beta = \frac{1}{2}$.

3.1 Déterminer le nombre d'itérations $k_0$ à effectuer par la méthode de Jacobi commençant en $x^{(0)} = (2\ 2\ 2)^t$ pour avoir $\|x^{(k)} - x\|_2 \le 10^{-3}$, $\forall k \ge k_0$.

3.2 Peut-on assimiler $x^{(2)}$ à la meilleure solution approchée de $x$ à $10^{-3}$ ? Justifier.

4. Soit $G$ la matrice de Gauss-Seidel associée à $A$.

4.1 Écrire l'algorithme de Gauss-Seidel appliqué à $Ax = b$. En déduire $G$.

4.2 Pour quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta \in \mathbb{R}$ a-t-on $\rho(G) < 1$ ?

On considère le problème à valeurs aux limites suivant

$$-u''(x) + u'(x) + (1 - x^2)u(x) = f(x), \quad x \in ]0,1[$$ $$u'(0) = -\alpha \quad \text{et} \quad u'(1) = \beta,$$

avec $f(x) \in C[0,1]$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

1. Trouver le système algébrique associé à l'approximation de ce problème par une méthode de différences finies centrées.

2. Est-ce que ce système admet une solution unique ?