مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة الشهيد حمه لخضر - الوادي — الموضوع 01

Soit $C_0(\mathbb{R}) = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f \text{ uniformément continue} \ / \ \forall \varepsilon > 0, \exists C > 0 : |f(x)| < \varepsilon,\ \forall |x| > C\}$ l'espace des fonctions uniformément continues qui s'annulent à l'infini, muni de la norme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$, et soit $q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue bornée.

Sur $C_0(\mathbb{R})$ on définit une famille d'opérateurs à un paramètre $\{T(t), t \ge 0\}$ par

$$(T(t)f)(x) = \left[\exp\left(\int_{x-t}^{x} q(y)\,dy\right)\right] f(x-t), \quad t \ge 0.$$

1. Montrer que pour toute $f \in C_0(\mathbb{R})$, $\|f\|_\infty < \infty$.

2. Montrer que $\{T(t), t \ge 0\}$ est un $C_0$-semigroupe (semigroupe fortement continu).

3. Montrer que pour $f \in D(\mathcal{A}) = C_0^1(\mathbb{R})$, le générateur infinitésimal $\mathcal{A}$ de $\{T(t), t \ge 0\}$ est donné par $\mathcal{A}f = q.f - f'$.

4. En déduire la solution de l'équation

$$\begin{cases} u_t(x,t) = q(x)u(x,t) - u_x(x,t) \\ u(x,0) = f(x) \end{cases}$$

où $f \in C_0^1(\mathbb{R})$.