مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة الشهيد حمه لخضر - الوادي — الموضوع 01

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $0 < x < y$.

1. En appliquant le théorème des accroissements finis, montrer que

$$x < \frac{y - x}{\ln y - \ln x} < y.$$

2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,1]$ par

$$f(\alpha) = \ln(\alpha x + (1-\alpha)y) - \alpha \ln x - (1-\alpha)\ln y.$$

a. Vérifier que la dérivée seconde est négative, puis étudier le signe de la dérivée première sur $[0,1]$.

b. Déduire que, pour tout $0 < \alpha < 1$, on a

$$\alpha \ln x + (1-\alpha)\ln y < \ln(\alpha x + (1-\alpha)y).$$

c. Donner une interprétation géométrique à ce résultat.

Dans $\mathbb{R}$ on pose

$$d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y \\ |x| + |y| & \text{sinon} \end{cases}$$

1. Montrer que $d$ est une distance.

2. Déterminer toutes les boules ouvertes et fermées.

3. Montrer que $\{0\}$ est un fermé mais pas un ouvert.

4. Montrer que pour tout $x \neq 0$, $\{x\}$ est à la fois ouvert et fermé.

5. Montrer que toute boule ouverte est une partie fermée.

Soit $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ une fonction analytique sur le domaine $\{z \in \mathbb{C} : |z| > 1\}$, telle que $\lim_{z \to \infty} f(z) = 0$.

1. Fixons $z \in \mathbb{C}$. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $M_\varepsilon > 2|z|$ tel que

$$\left| \frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi| = M_\varepsilon} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)}\,d\xi \right| < \varepsilon.$$

2. En déduire que si $|z| > 2$, alors

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi| = 2} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)}\,d\xi = -f(z).$$