مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 01

a) Donner la définition d'une fonction convexe.

b) Montrer l'inégalité de Young, $\forall a, b > 0$, $\forall p, q \in \mathbb{Z}_+$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ :

$$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$

1. Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = x$ pour tous $x, y \in \mathbb{R}$.

Montrer que $f$ est continue mais n'est pas fermée par rapport à la topologie métrique usuelle de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}$ respectivement.

2. Soient $E$, $F$ des espaces topologiques avec $F$ séparé et $f : E \to F$ une application continue.

 i. Si $g : E \to F$ est une autre application continue, montrer que le sous-ensemble

$$D = \{x \in E : f(x) = g(x)\}$$

est fermé dans $E$ ;

 ii. Déduire que si $D$ est dense dans $E$ alors $f = g$ ;

 iii. Montrer que le graphe de $f$ est un sous-ensemble fermé pour la topologie produit de $E \times F$.

Soit $E = \mathbb{R}_4[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels d'ordre $\le 4$.

1) Quelle est la dimension de $E$ ?

2) a) Montrer que $E_\alpha = \{P \in E \ / \ \alpha \text{ est une racine de } P\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et calculer $\dim E_\alpha$.

b) Montrer que $E_{\alpha,\beta} = \{P \in E \ / \ \alpha \text{ et } \beta \text{ sont des racines de } P\}$ est aussi un sous-espace vectoriel de $E$ et trouver $\dim E_{\alpha,\beta}$.

3) Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et

$$f_{\alpha,\beta} : \begin{array}{ccc} E & \to & E \\ P & \mapsto & f_{\alpha,\beta}(P) \end{array}, \quad \text{où } f_{\alpha,\beta}(P)(x) = P(\alpha)x + P(\beta).$$

Montrer que $f_{\alpha,\beta}$ est linéaire et trouver sa matrice associée et son noyau.