مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 03

Soit $(B_t)_{t \ge 0}$ un mouvement brownien standard sur l'espace de probabilité filtré $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t), \mathbb{P})$.

1. Étudier la dérivabilité de $Y_t = B_t$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.

2. Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, montrer que le processus $K_t = e^{-\alpha^2 t/2}\cosh(\alpha B_t)$ est une $\mathcal{F}_t$-martingale.

Indication : $\cosh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$.

3. Calculer $\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t 1\,dB_s\right)\left(\int_0^t B_s^2\,dB_s\right)\right]$.

Indication : $xy = \frac{1}{4}\left((x+y)^2 - (x-y)^2\right)$.

4. Montrer que $\mathbb{E}(B_t^4) = 3t^2$.

5. Par deux méthodes différentes montrer que $(B_t^3 - 3tB_t)$ est une martingale.

Soit $N_t$ un processus de Poisson d'intensité $\lambda$ $(\lambda > 0)$ défini sur l'espace de probabilité filtré $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t), \mathbb{P})$, et soit $M_t = \exp(aN_t + bt)$ où $a$ et $b$ sont des constantes.

Trouver une relation entre $a$ et $b$ qui implique que $M_t$ est une $\mathcal{F}_t$-martingale.

Pour décrire la dynamique des taux courts, en particulier dans le modèle de Vasicek (1977), on modélise l'évolution du processus de taux par la différentielle stochastique suivante (avec $a, b > 0$)

$$\begin{cases} dX_t = a(b - X_t)\,dt + \sigma\,dW(t) \\ X_0 = x \in \mathbb{R} \end{cases}$$

1. Montrer que cette équation possède une solution unique.

2. Déterminez de façon explicite cette solution par la méthode de la variation de la constante.

Soit $(B_t)_{t \ge 0}$ un $(\mathfrak{F}_t)$-mouvement brownien en dimension deux, issu d'un point $z = (x, y)$ distinct de $0$. On écrit $B_t = (X_t, Y_t)$ pour tout $t \ge 0$ où $(X_t)$, $(Y_t)$ sont deux mouvements Browniens de dimension 1 indépendants.

1. On pose $R_t = |B_t|^2 = (X_t)^2 + (Y_t)^2$ pour tout $t \ge 0$. Vérifier que $(R_t)_{t \ge 0}$ est une semimartingale, et écrire sa décomposition (une martingale locale $+$ un processus à variation finie). Vérifier que

$$\langle R; R \rangle_t = 4\int_0^t R_s\,ds.$$

2. On fixe $\varepsilon \in ]0, |z|[$ et on pose $T_\varepsilon = \inf\{t \ge 0,\ |B_t| \le \varepsilon\}$ puis $U_t = R_{t \wedge T_\varepsilon}$, pour tout $t \ge 0$. Montrer que le processus $\log(U_t)$ est une martingale locale.

3. Soit $A \in ]|z|, +\infty[$, et $\tau_A = \inf\{t \ge 0 ;\ |B_t| \ge A\}$. Montrer que

$$P(T_\varepsilon < \tau_A) = \frac{\log(A) - \log(|z|)}{\log(A) - \log(\varepsilon)}.$$