مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 03

Considérons le problème suivant :

$ \begin{cases} \partial_tu=\partial_{xx}u, & (t,x)\in ]0,+\infty[\times\mathbb{R},\ u(0,x)=f(x), & x\in\mathbb{R}, \end{cases}

où $f(x)$ est une fonction bornée continue. Pour $t>0$ et $x\in\mathbb{R}$, on pose

$
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}.

1. Montrer que

$ \int_{\mathbb{R}}G(x,t),dx=1.

2. Soit la solution du problème donnée par

$
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}}f(y)G(x-y,t)\,dy.

Montrer que si $f(x)=1$, alors $u(x,t)=1$.

3. Déduire de la question précédente, pour $f\in L^1(\mathbb{R})$, que

$ \int_{\mathbb{R}}u(x,t),dx=\int_{\mathbb{R}}f(y),dy.

Que signifie ce résultat du point de vue physique ?

4. Soit maintenant $f\in L^1(\mathbb{R})$. Montrer que $u(x,t)$ est une fonction $C^\infty$.

5. Calculer la solution pour

$
f(x)=\begin{cases}
e^{-x}, & x>0,\\
0, & x\leq0.
\end{cases}

6. Que peut-on remarquer par rapport à la condition d’existence de la solution ? Quel est le rôle de l’équation de la chaleur dans ce cas ?

Aide :

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-s^2}\,ds=\sqrt{\pi},\qquad \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-s^2}\,ds. ``$

Soit $T>0$. On considère $u(t,x)\in C^2([0,T]\times[0,1])$, la solution de l’équation suivante :

$ \begin{cases} u_t-(1+x^2)u_{xx}+xu_x=\sin(2\pi x), & x\in(0,1),\ t\in(0,T),\ u(t,0)=u(t,1)=0, & t\in(0,T),\ u(0,x)=0, & x\in(0,1). \end{cases}

1. Rappeler la définition de $H_0^1(]0,1[)$.

2. Donner la formulation variationnelle du problème.

3. Démontrer que

$
\left\lvert\int_0^1\sin(2\pi x)v\,dx\right\rvert\leq\frac{\sqrt{2}}{2\pi}\lVert v_x\rVert_{L^2(0,1)},\qquad \forall v\in H_0^1(]0,1[).

4. Vérifier que l’opérateur $A$ défini par

$ A(v)=-(1+x^2)v_{xx}+xv_x

est coercif sur $H_0^1(]0,1[)$, précisément démontrer que

$
\int_0^1A(v)v\,dx\geq\left(1-\frac{3}{2\pi^2}\right)\lVert v_x\rVert_{L^2(0,1)}^2.

5. Démontrer que

$ \int_0^1A(v)w,dx\leq\left(2+\frac{3}{\pi}\right)\lVert v_x\rVert_{L^2(0,1)}\lVert w_x\rVert_{L^2(0,1)},\qquad \forall v,w\in H_0^1(]0,1[).

6. Démontrer que la solution satisfait

$
\sup_{t\in[0,T]}\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,1)}\leq C_1

et

$ \int_0^T\lVert u_x(s)\rVert_{L^2(0,1)}^2,ds\leq C_2,

où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes indépendantes de $t$.

Aide : La constante de Poincaré est $\frac{1}{\pi}$ et $2ab\leq a^2+b^2$.