مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 03

Soit $B=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et soit $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ l’application linéaire définie, pour tout $u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$, par

$ f(u)=(6x-4y-4z,\ 5x-3y-4z,\ x-y).

1. Montrer qu’il existe un vecteur $a\in\mathbb{R}^3$ non nul tel que $\ker f=\operatorname{Vect}(a)$. Déterminer un vecteur qui convient.

2. Soient $b=e_1+e_2$ et $c=e_2-e_3$.

   1. Calculer $f(b)$ et $f(c)$.
   2. En déduire que $\{a,b\}$ est une base de $\operatorname{Im}(f)$. On admet que $\{b,c\}$ est génératrice de $\operatorname{Im}(f)$.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant $\operatorname{Im}(f)$.

4. A-t-on $\ker f\oplus\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^3$ ?

Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ l’espace des fonctions réelles continues sur $[0,1]$. On le munit des distances fondamentales

$ d_\infty(f,g)=\sup_{0\leq x\leq1}\lvert f(x)-g(x)\rvert,

$
d_1(f,g)=\int_0^1\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx.

1. Prouver que $(E,d_\infty)$ est complet.

2. Soit la suite de fonctions $(f_n)_{n>0}$ définie par

$ f_n(x)=\begin{cases} nx, & 0\leq x\leq\frac{1}{n},\ 1, & \frac{1}{n}\leq x\leq1. \end{cases}

Calculer $d_1(f_n,f_m)$ pour $m\geq n$ et en déduire que $(f_n)_{n>0}$ est une suite de Cauchy de $(E,d_1)$. Est-elle convergente dans $(E,d_1)$ ? Conclure.

3. On considère la fonction $T$ définie sur le complet $(E,d_\infty)$ par

$
T:(E,d_\infty)\to(E,d_\infty),\qquad f\mapsto T(f),

avec

$ T(f)(x)=2+\frac{1}{2}\int_0^1f(t)\cos(x\pi t),dt.

   1. Montrer que $T$ est lipschitzienne.
   2. En déduire qu’il existe un et un seul élément $f\in E$ tel que $T(f)=f$.

On considère le problème suivant :

$ \begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0, & 0<x<1,\ 0<y<1,\ u(x,y)=x^2-y^2, & \text{sur }x=0,\ y=0,\ y=1,\ u(1,y)+\frac{\partial u(1,y)}{\partial x}=3-y, & 0<y<1. \end{cases}

On se donne une grille de points $(x_i,y_j)$, o├╣ $x_i=ih$ et $y_j=jk$, avec $i=0,1,\ldots,n$ et $j=0,1,\ldots,m$, $h=\frac{1}{n}$ et $k=\frac{1}{m}$, $n,m>1$.

1. Écrire le schéma aux différences finies du problème en utilisant le schéma centré pour construire une solution approchée. Pour le terme $\frac{\partial u(1,y)}{\partial x}$, utiliser un schéma décentré à gauche.

2. Écrire le système sous forme matricielle pour $m=n=2$. Calculer la solution.