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مسابقة دكتوراه 2016 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 09

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques · المدة: 1سا

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Concours d'accès à la Formation de Doctorat de 3ème cycle — Matière : Equa-Diff et Sys-Dyn, Spécialité : Mathématiques et Applications, Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila, Institut des Sciences et Technologie, Département de Mathématiques et Informatique, Lab. Maths et Leurs Intéractions — 19 octobre 2016 (Durée 01 heure 30 mn).

التمرين 1

Exercice 1 — Équation différentielle scalaire et périodicité

#ode#resolvent#periodic-solution#variation-of-parameters

Soit f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction continue. Considérons l'équation différentielle scalaire

x′′+x=f(t)(1)x'' + x = f(t) \qquad (1)
  1. Écrire (1) sous forme d'une équation différentielle affine du premier ordre.
  2. Calculer la résolvante du système linéaire associé.
  3. Exprimer x(t)x(t) et x′(t)x'(t) en fonction de leurs valeurs en 00 et de f(t)f(t).
  4. On suppose que f(t)f(t) est 2π2\pi-périodique et que
∫02πsin⁡(s)f(s) ds=∫02πcos⁡(s)f(s) ds=0\int_0^{2\pi} \sin(s) f(s) \, ds = \int_0^{2\pi} \cos(s) f(s) \, ds = 0

Montrer que x(t)x(t) solution de (1) est 2π2\pi-périodique.

◀الحل

1.

On pose X=(xx′)X = \begin{pmatrix} x \\\\ x' \end{pmatrix}, X′=(01−10)X+(0f(t))X' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{pmatrix} X + \begin{pmatrix} 0 \\\\ f(t) \end{pmatrix}.

2.

R(t)=eAt=(cos⁡tsin⁡t−sin⁡tcos⁡t)R(t) = e^{At} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}.

3.

x(t)=x(0)cos⁡t+x′(0)sin⁡t+∫0tsin⁡(t−s)f(s) dsx(t) = x(0)\cos t + x'(0)\sin t + \int_0^t \sin(t-s) f(s) \, ds.

4.

On vérifie x(t+2π)=x(t)x(t + 2\pi) = x(t) en utilisant les hypothèses d'orthogonalité de ff aux fonctions sin⁡\sin et cos⁡\cos.

x(t) est 2π-peˊriodique\boxed{x(t) \text{ est } 2\pi\text{-périodique}}

التمرين 2

Exercice 2 — Stabilité par fonction de Lyapunov

#dynamical-systems#lyapunov-stability#nonlinear-ode#equilibrium

On considère le système différentiel :

{x′(t)=y(t),y′(t)=−ay(t)−x3(t)−x5(t),(2)\begin{cases} x'(t) = y(t), \\\\ y'(t) = -ay(t) - x^3(t) - x^5(t), \end{cases} \qquad (2)

où a>0a \gt 0 est un paramètre fixé.

  1. Le système linéarisé autour de (0,0)(0,0) s'écrit :
{x′(t)=y(t),y′(t)=−ay(t).(3)\begin{cases} x'(t) = y(t), \\\\ y'(t) = -ay(t). \end{cases} \qquad (3)

Est-il stable en (0,0)(0,0) ? Est-il asymptotiquement stable en (0,0)(0,0) ?

  1. Soit (x(t),y(t))(x(t), y(t)) une solution de (2) de classe C1\mathcal{C}^1 sur [0,+∞[[0, +\infty[. a. Soit F(x,y)=y22+x44+x66F(x, y) = \frac{y^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6}. Montrer que t↦F(x(t),y(t))t \mapsto F(x(t), y(t)) est décroissante. b. Montrer la stabilité au sens de Lyapunov. c. Conclure.
◀الحل

1.

Matrice : (010−a)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & -a \end{pmatrix}, valeurs propres 00 et −a-a. Stable (pas de vp à partie réelle positive) mais pas asymptotiquement stable (vp nulle).

2.a.

ddtF=x3x′+x5x′+yy′=y(x3+x5)+y(−ay−x3−x5)=−ay2≤0\frac{d}{dt}F = x^3 x' + x^5 x' + y y' = y(x^3 + x^5) + y(-ay - x^3 - x^5) = -ay^2 \leq 0.

2.b.

FF est définie positive et F˙≤0\dot{F} \leq 0, donc par Lyapunov l'origine est stable.

2.c.

L'origine est stable au sens de Lyapunov pour le système non linéaire.

(0,0) est stable au sens de Lyapunov\boxed{(0,0) \text{ est stable au sens de Lyapunov}}

التمرين 3

Exercice 3 — Orbite périodique et application de Poincaré

#periodic-orbit#poincare-map#cylindrical-coordinates#stability

Considérons le système

{x˙=x−y−x3−xy2y˙=x+y−x2y−y3z˙=αz(4)\begin{cases} \dot{x} = x - y - x^3 - xy^2 \\\\ \dot{y} = x + y - x^2 y - y^3 \\\\ \dot{z} = \alpha z \end{cases} \qquad (4)
  1. Montrer que γ(t)=(cos⁡t,sin⁡t,0)T\gamma(t) = (\cos t, \sin t, 0)^T est une orbite périodique de (4).
  2. Réécrire le système (4) dans les coordonnées cylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z).
  3. Résoudre le système ainsi obtenu.
  4. Donner l'expression de l'application de Poincaré P(r,z)P(r, z) associée à l'orbite γ\gamma et calculer sa dérivée au point (1,0)(1, 0) en déduire la stabilité de γ\gamma.
◀الحل

1.

On vérifie que x=cos⁡t,y=sin⁡t,z=0x = \cos t, y = \sin t, z = 0 satisfait le système.

2.

Avec x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y = r\sin\theta : r˙=r(1−r2)\dot{r} = r(1 - r^2), θ˙=1\dot{\theta} = 1, z˙=αz\dot{z} = \alpha z.

3.

Équation de Bernoulli pour rr : r2(t)=11+(r0−2−1)e−2tr^2(t) = \frac{1}{1 + (r_0^{-2} - 1)e^{-2t}}, θ(t)=θ0+t\theta(t) = \theta_0 + t, z(t)=z0eαtz(t) = z_0 e^{\alpha t}.

4.

Après T=2πT = 2\pi : DP(1,0)=diag(e−4π,e2πα)DP(1,0) = \text{diag}(e^{-4\pi}, e^{2\pi\alpha}). Stable ssi α<0\alpha \lt 0.

γ est asymptotiquement stable si α<0\boxed{\gamma \text{ est asymptotiquement stable si } \alpha \lt 0}
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