مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 10

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours national d'accès à la formation de troisième cycle (2016/2017) — Doctorat en Mathématiques Appliquées (15/10/2016) — Option : Probabilités et Équations Différentielles Stochastiques — Épreuve de Processus Stochastique (durée : 01h30) — Version B, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrale stochastique Xt=∫s dBs, loi, Itô, processus composé

#stochastic-processes#ito-integral#brownian-motion#stochastic-calculus

Notre but est de définir l'intégrale stochastique de la forme $X_t=\int_0^t s\,dB_s$ , pour tous les $t\in[0,T]$ .

(1 pt) Calculer $E(X_t)$ et $\operatorname{Var}(X_t)$ .
(1 pt) Quelle est la loi de $X_t$ ?
(1 pt) Calculer $d(tB_t)$ à l'aide de la formule d'Itô.
(1 pt) En déduire une relation entre $X_t$ et $Y_t=\int_0^t B_s\,ds$ . 5a. (1 pt) Calculer la variance de $Y_t$ directement à partir de sa définition. 5b. (1 pt) Calculer la variance de $Y_t$ en calculant d'abord la covariance de $B_t$ et $X_t$ à l'aide d'une partition de $[0,t]$ .
(1 pt) En déduire la loi de $Y_t$ .
(2 pts) On considère les deux processus stochastiques $Z_t=\int_0^t e^s\,dB_s$ et $H_t=e^{-t}Z_t$ . Déterminer $E(Z_t)$ , $\operatorname{Var}(Z_t)$ , $E(H_t)$ et $\operatorname{Var}(H_t)$ . Spécifier la loi de $Z_t$ et de $H_t$ .

◀الحل

1.

$E(X_t)=0$ (intégrale d'Itô). Par isométrie : $\operatorname{Var}(X_t)=\int_0^t s^2\,ds=\frac{t^3}{3}$ .

2.

$s\mapsto s$ est déterministe et $L^2$ , donc $X_t\sim\mathcal{N}(0,t^3/3)$ .

3.

$d(tB_t)=B_t\,dt+t\,dB_t$ par Itô ( $\partial_t(tB_t)=B_t$ , $\partial_B(tB_t)=t$ , terme de second ordre nul).

4.

$tB_t=\int_0^t B_s\,ds+\int_0^t s\,dB_s=Y_t+X_t$ , donc $Y_t=tB_t-X_t$ .

5a.

$\operatorname{Var}(Y_t)=\int_0^t\int_0^t\operatorname{Cov}(B_s,B_u)\,ds\,du=\int_0^t\int_0^t\min(s,u)\,ds\,du=\frac{t^3}{3}$ .

5b.

$\operatorname{Cov}(B_t,X_t)=E[B_t X_t]=E[\int_0^t dB_s\int_0^t u\,dB_u]=\int_0^t s\,ds=\frac{t^2}{2}$ . $\operatorname{Var}(Y_t)=\operatorname{Var}(tB_t-X_t)=t^2\cdot t-2t\cdot\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}=\frac{t^3}{3}$ .

6.

$Y_t=tB_t-X_t$ est une combinaison linéaire de gaussiennes : $Y_t\sim\mathcal{N}(0,t^3/3)$ .

7.

$E(Z_t)=0$ , $\operatorname{Var}(Z_t)=\int_0^t e^{2s}ds=\frac{e^{2t}-1}{2}$ . $Z_t\sim\mathcal{N}(0,\frac{e^{2t}-1}{2})$ .

$H_t=e^{-t}Z_t$ , $E(H_t)=0$ , $\operatorname{Var}(H_t)=e^{-2t}\cdot\frac{e^{2t}-1}{2}=\frac{1-e^{-2t}}{2}$ . $H_t\sim\mathcal{N}(0,\frac{1-e^{-2t}}{2})$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Famille de variables échangeables (identique à la version A)

#stochastic-processes#exchangeable-variables#de-finetti-theorem#gaussian-process

On dit d'une famille de variables $(X_n)_{n\geq 1}$ définies sur un espace $(\Omega,\mathcal{F},P)$ qu'elles sont échangeables si pour tout $n$ et pour tout $\sigma\in S_n$ , les vecteurs $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})$ ont même loi.

(2 pts) Montrer qu'une famille de variables échangeables est stationnaire.
(2 pts) Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une famille de variables échangeables de carré intégrables. Exprimer la variance de $X_1+\cdots+X_n$ en fonction de $\operatorname{Var}(X_1)$ et $\operatorname{Cov}(X_1,X_2)$ . En déduire que les $X_i$ sont positivement corrélés.
(2 pts) Montrer qu'à partir d'un bruit blanc $(X_i)_{i\geq 1}$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ , on peut construire un processus gaussien de variables échangeables en posant $X_i=m+aY_0+bY_i$ .
(2 pts) Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ un processus gaussien de variables échangeables. Montrer qu'il existe une v.a. $Z$ telle que, sachant $Z$ , les $X_i$ sont indépendantes (De Finetti).

◀الحل

1.

Même argument que Exercice 2 version A : la stationnarité découle de l'échangeabilité par permutation des indices.

2.

$\operatorname{Var}(\sum_{i=1}^n X_i)=n\operatorname{Var}(X_1)+n(n-1)\operatorname{Cov}(X_1,X_2)\geq 0$ pour tout $n$ . Donc $\operatorname{Cov}(X_1,X_2)\geq 0$ .

3.

$X_i=m+aY_0+bY_i$ avec $Y_0,Y_1,\ldots$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ . Pour toute permutation $\sigma$ , $(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})$ a la même loi que $(X_1,\ldots,X_n)$ car les $Y_i$ pour $i\geq 1$ sont i.i.d.

4.

$Z=\lim_{n\to\infty}\bar{X}_n$ p.s. (loi des grands nombres). Sachant $Z$ , les $X_i$ sont indépendantes de loi $\mathcal{N}(Z,\operatorname{Var}(X_1)-\operatorname{Cov}(X_1,X_2))$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Processus de Poisson composé : covariance, espérance, martingale

#stochastic-processes#poisson-process#compound-poisson#martingale

(2 pts) Soit $N(t)$ , $t\geq 0$ , un processus de Poisson d'intensité $\lambda t$ . Calculer $\operatorname{Cov}(N(t),N(s))$ pour $0\leq s\leq t$ .
(2 pts) Soit $(Z_i,i\geq 1)$ des variables indépendantes équidistribuées d'espérance $\mu$ et indépendantes du processus $N$ . On note $Y(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Z_i$ le processus de Poisson composé. Calculer $E[Y(t)]$ .
(2 pts) Montrer que le processus $Z(t)=Y(t)-\mu\lambda t$ , $t\geq 0$ , est une Martingale.

◀الحل

1.

Pour $s\leq t$ : $N(t)=N(s)+(N(t)-N(s))$ . $\operatorname{Cov}(N(t),N(s))=\operatorname{Var}(N(s))+\operatorname{Cov}(N(t)-N(s),N(s))=\lambda s+0=\lambda s$ .

$\boxed{\operatorname{Cov}(N(t),N(s))=\lambda\min(s,t).}$

2.

Par la formule d'espérance totale : $E[Y(t)]=E[E[Y(t)|N(t)]]=E[N(t)\cdot\mu]=\mu\lambda t$ .

$\boxed{E[Y(t)]=\mu\lambda t.}$

3.

$E[|Z(t)|]\lt+\infty$ car $E[Y(t)]=\mu\lambda t\lt\infty$ .

Pour $s\leq t$ : $E[Z(t)|\mathcal{F}_s]=E[Y(t)-\mu\lambda t|\mathcal{F}_s]=E[Y(s)+\sum_{i=N(s)+1}^{N(t)}Z_i-\mu\lambda t|\mathcal{F}_s]$ .

L'incrément $\sum_{i=N(s)+1}^{N(t)}Z_i$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ et d'espérance $\mu\lambda(t-s)$ . Donc :

$E[Z(t)|\mathcal{F}_s]=Y(s)+\mu\lambda(t-s)-\mu\lambda t=Y(s)-\mu\lambda s=Z(s)$ .

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