📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2019 — Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

Concours d'accès en 1ère année Doctorat — Mathématiques — Sujet 2 : Statistique, Centre Universitaire Salhi Ahmed - Naâma, Institut S.T, Département M.I — Année universitaire 2019/2020.

التمرين 1

Exercice 1 — Densité f(x,θ)=(3x²/θ)exp(-x³/θ), MLE, biais, convergence

#statistics#maximum-likelihood#exponential-family#unbiased-estimator

Première partie : Estimation Paramétrique

On considère la variable aléatoire réelle XX de densité f(x)f(x) telle que :

f(x,θ)={3x2θexp⁡ ⁣(−x3θ)si x>0,  θ>0 0sinon.f(x,\theta) = \begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta}\exp\!\left(-\dfrac{x^3}{\theta}\right) & \text{si } x\gt 0,\; \theta\gt 0 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

  1. (3 pts) Soit Y=X3θY=\dfrac{X^3}{\theta}. Calculer la loi de YY. En déduire E(Y)E(Y), Var⁡(Y)\operatorname{Var}(Y), E(X3)E(X^3) et Var⁡(X3)\operatorname{Var}(X^3).
  2. (4 pts) Déterminer l'estimateur de maximum de vraisemblance θ^n\hat{\theta}_n de θ\theta.
  3. (3 pts) θ^n\hat{\theta}_n est-il sans biais ? Est-il convergent ?
◀الحل

1.

Par changement de variable y=x3/θy=x^3/\theta : dy=3x2/θ dxdy=3x^2/\theta\,dx, donc la densité de YY est e−ye^{-y} pour y>0y\gt 0 : Y∼E(1)Y\sim\mathcal{E}(1) (exponentielle de paramètre 1).

E(Y)=1E(Y)=1, Var⁡(Y)=1\operatorname{Var}(Y)=1. Donc E(X3)=θE(X^3)=\theta, Var⁡(X3)=θ2\operatorname{Var}(X^3)=\theta^2.

2.

log⁡L=∑i=1n[log⁡3+2log⁡xi−log⁡θ−xi3/θ]\log L=\sum_{i=1}^n[\log 3+2\log x_i-\log\theta-x_i^3/\theta]. En dérivant par rapport à θ\theta et égalisant à 0 :

θ^n=1n∑i=1nXi3=X3‾.\boxed{\hat{\theta}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^3=\overline{X^3}.}

3.

E(θ^n)=E(X3)=θE(\hat{\theta}_n)=E(X^3)=\theta : sans biais.

Var⁡(θ^n)=θ2/n→0\operatorname{Var}(\hat{\theta}_n)=\theta^2/n\to 0 : convergent (en moyenne quadratique, donc en probabilité).

التمرين 2

Exercice 2 — Fonction de répartition empirique : biais, convergence, IC

#statistics#empirical-distribution#nonparametric-estimation#confidence-interval

Deuxième partie : Estimation Non-Paramétrique

On suppose que les observations x1,…,xnx_1,\ldots,x_n sont des réalisations de variables aléatoires réelles X1,…,XnX_1,\ldots,X_n indépendantes et de même loi, de fonction de répartition FF, et de densité ff si elle existe.

  1. (1 pt) Donner Fn(x)F_n(x) l'estimateur empirique de la fonction de répartition FF.
  2. (2 pts) Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, nFn(x)nF_n(x) est de loi binomiale B(n,F(x))\mathcal{B}(n,F(x)).
  3. (3 pts) Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)F_n(x) est un estimateur sans biais et convergent en moyenne quadratique de F(x)F(x).
  4. (2 pts) Montrer que ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).
  5. (2 pts) Soit xx fixé. Donner un intervalle de confiance de seuil α\alpha pour F(x)F(x).
◀الحل

1.

Fn(x)=1n∑i=1n1Xi≤x.F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{X_i\leq x}.

2.

nFn(x)=∑i=1n1Xi≤xnF_n(x)=\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{X_i\leq x} est la somme de nn variables de Bernoulli i.i.d. de paramètre F(x)F(x), donc nFn(x)∼B(n,F(x))nF_n(x)\sim\mathcal{B}(n,F(x)).

3.

E[Fn(x)]=F(x)E[F_n(x)]=F(x) (sans biais). Var⁡(Fn(x))=F(x)(1−F(x))n→0\operatorname{Var}(F_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}\to 0, donc convergent en MSE.

4.

Chaque 1Xi≤x\mathbf{1}_{X_i\leq x} est i.i.d. d'espérance F(x)F(x). Par la loi forte des grands nombres, Fn(x)→p.s.F(x)F_n(x)\xrightarrow{p.s.}F(x).

5.

Par le TCL, Fn(x)−F(x)F(x)(1−F(x))/n→LN(0,1)\frac{F_n(x)-F(x)}{\sqrt{F(x)(1-F(x))/n}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1). IC de niveau 1−α1-\alpha :

[Fn(x)−z1−α/2Fn(x)(1−Fn(x))n  ,  Fn(x)+z1−α/2Fn(x)(1−Fn(x))n].\boxed{\left[F_n(x)-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{F_n(x)(1-F_n(x))}{n}}\;,\; F_n(x)+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{F_n(x)(1-F_n(x))}{n}}\right].}

→السابقConcours Doctorat 2019 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — Épreuve N°03التاليConcours Doctorat 2019 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — Épreuve N°03←