مسابقة دكتوراه 2017 — Université Amar Telidji - Laghouat — الموضوع 01

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. On note par :

• $C_c^\infty(I)$ l'ensemble des fonctions de classe $C^\infty$ à support compact contenu dans $I$.
• $L^p(I)$, $1 \le p < +\infty$, l'espace de Lebesgue des fonctions dont la puissance $p^{\text{ème}}$ est intégrable sur $I$, et $L^\infty(I)$ l'espace de Lebesgue des fonctions essentiellement bornées sur $I$.
• $W^{1,p}(I) = \{ u \in L^p(I),\ \exists g \in L^p(I) \text{ tel que } \int_I u\varphi' = -\int_I g\varphi,\ \forall \varphi \in C_c^\infty(I) \}$, on note $u' = g$ (au sens des distributions). L'espace $W^{1,p}(I)$ est muni de la norme $\|u\|_{W^{1,p}} := \|u\|_{L^p} + \|u'\|_{L^p}$.

Soient $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{R}$, on pose

$$V = \left\{ \varphi \in C_c^\infty(]a,b[)\ :\ \int_a^b \varphi(x)\,dx = 0 \right\}.$$

1. Soit $u \in L^1(]a,b[)$ telle que pour tout $\varphi \in C_c^\infty(]a,b[)$,

$$\int_a^b u(x)\varphi'(x)\,dx = 0.$$

i) Montrer que, pour tout $\varphi$ dans $V$, on a $\int_a^b u(x)\varphi(x)\,dx = 0$ ;

ii) Soit $\theta > 0$ appartenant à $C_c^\infty(]a,b[)$ et telle que $\int_a^b \theta(x)\,dx = 1$. Montrer que, pour tout $\varphi \in C_c^\infty(]a,b[)$, on a

$$\int_a^b u(x)\varphi(x)\,dx = \int_a^b \kappa\,\varphi(x)\,dx,$$

où $\kappa = \int_a^b \theta(x)u(x)\,dx$.

iii) Démontrer que $u = \kappa$ p.p.

2. Pour $u \in W^{1,p}(]a,b[)$, $a < c < d < b$, on pose :

$$v_c(x) = \int_c^x u'(t)\,dt \quad \text{pour } x \in ]c,d[.$$

i) Vérifier que $v_c$ est bien définie ;

ii) Montrer que, pour tout $\varphi \in C_c^\infty(]c,d[)$,

$$\int_c^d \varphi'(x)v_c(x)\,dx = \int_c^d \varphi'(x)u(x)\,dx.$$

iii) Conclure qu'il existe $\kappa \in \mathbb{C}$ telle que, pour presque tout $x$ dans $]a,b[$,

$$u(x) = \kappa + \int_c^x u'(t)\,dt.$$

3. En déduire que si $u \in W^{1,p}(]a,b[)$ $(p > 1)$, alors il existe un représentant $u^*$ de $u$ tel que

$$\forall x, y \in ]a,b[, \quad |u^*(y) - u^*(x)| \le \|u\|_{W^{1,p}}\,|y - x|^{1 - \frac{1}{p}}.$$

(Dans ce cas on dit que les éléments de $W^{1,p}(]a,b[)$ sont des fonctions $(1 - \frac{1}{p})$-höldériennes.)

4. On considère la fonction $u(x) = \sqrt{x}$ sur $]0,1[$. Montrer que $u$ est $\frac{1}{2}$-höldérienne mais que $u$ n'appartient pas à $W^{1,2}(]0,1[)$.

Soit $f$ une fonction impaire, périodique de période $T = 2$, et définie par :

$$f(t) = 25 \quad \text{pour} \quad 0 < t < 1.$$

1. Montrer que $f$ admet un développement en série de Fourier ;

2. Étudier la convergence de la série de Fourier sur $]-\infty, +\infty[$ ;

3. Écrire la formule de Parseval, et donner une interprétation physique ;

4. Considérons le problème de valeurs aux limites suivant :

$$\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x),$$ $$u(t,0) = u(t,1) = 0^\circ c,$$ $$u(0,x) = 25 \quad \text{pour} \quad 0 < x < 1.$$

a) Donner une interprétation physique du problème considéré ;

b) Résoudre le problème sachant que la fonction $u$ est bornée.