مسابقة دكتوراه 2017 — Université Amar Telidji - Laghouat — الموضوع 01

Soit $f$ une solution définie sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle

$$(E)\ :\ y'' - (x^4 + 1)y = 0,$$

telle que $f(0) = f'(0) = 1$.

1. Justifier l'existence de $f$.

2. Montrer que $g = f^2$ est convexe, calculer $g(0)$ et $g'(0)$.

3. Montrer que $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $f(t) \ge 1$.

4. La fonction $t \mapsto \frac{1}{g(t)}$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}^+$ ?

5. Montrer que $h\ :\ x \mapsto f(x)\int_x^{+\infty} \frac{dt}{g(t)}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

Soient $f$ une fonction de classe $C^3([0,1])$ et $\varepsilon \in ]0,1[$. Soit $P_\varepsilon(x)$ le polynôme interpolant $f$ aux points : $0$, $\varepsilon$ et $1$.

1. Exprimer $P_\varepsilon(x)$ dans la base de Newton $\{1,\ x,\ x(x-\varepsilon)\}$.

2. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a :

$$\lim_{\varepsilon \to 0} P_\varepsilon(x) = P(x) = f(0) + x f'(0) + (f(1) - f(0) - f'(0))x^2 \quad (\star).$$

3. Montrer que le polynôme $P(x)$ trouvé dans $(\star)$ est l'unique polynôme qui vérifie :

$$P(0) = f(0),\quad P(1) = f(1)\ \text{ et }\ P'(0) = f'(0).$$

4. Pour un $x$ arbitraire dans $]0,1[$, on pose $K(x) = \frac{f(x) - P(x)}{x^2(x-1)}$ et on considère la fonction :

$$\psi(t) = f(t) - P(t) - K(x)\,t^2(t-1) = f(t) - P(t) - \frac{f(x) - P(x)}{x^2(x-1)}\,t^2(t-1).$$

a) Vérifier que $\psi(0) = \psi'(0) = \psi(1) = \psi(x) = 0$.

b) Montrer que $\psi'$ s'annule en 3 points de $[0,1]$ et que $\psi''$ s'annule en 2 points de $[0,1]$.

c) Déduire qu'il existe $\theta \in [0,1]$ tel que $\psi^{(3)}(\theta) = 0$ et conclure que :

$$f(x) - P(x) = \frac{f^{(3)}(\theta)}{6}\,x^2(x-1).$$

5. On pose $M_3 = \max_{0 \le t \le 1} |f^{(3)}(t)|$.

a) Montrer que $|f(x) - P(x)| \le \frac{2M_3}{81}$, $\forall x \in [0,1]$.

b) Montrer que : $\left| \int_0^1 (f(x) - P(x))\,dx \right| \le \frac{M_3}{72}$.