مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة سطيف 1 — الموضوع 02

Soit $\xi$ l'unique racine de l'équation $f(x) = 0$, sur $I$, tel que $f \in C^n(I)$ vérifiant

$$f'(x) \neq 0 ;\ \forall x \in I \ \text{ et } \ f(a) \neq 0 ;\ (a \in I).$$

1. Pour calculer $\xi$, on considère l'algorithme :

$$(1)\ \begin{cases} x_0 \in I - \{a\} \\ x_{n+1} = \dfrac{a f(x_n) - x_n f(a)}{f(x_n) - f(a)} \end{cases} ;\ n \in \mathbb{N}.$$

Supposons que l'algorithme $(1)$ converge. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} x_n = \xi$.

2. Trouver l'ordre de convergence de l'algorithme $(1)$.

Soient $E = C([-\pi, \pi])$ l'espace vectoriel des fonctions continues dans $[-\pi, \pi]$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ muni du produit scalaire : $\forall g, k \in F$ :

$$\langle g, k \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} g(x)k(x)\,dx$$

et $B = \{\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\} = \{1,\ \cos x,\ \sin x\}$ une base de $F$.

1) Transformer $B$ en une base orthonormée $B' = \{h_1, h_2, h_3\}$ en utilisant la formule de Gram-Schmidt.

2) Soient $f$ un élément de $E$ et $\varphi^*$ un élément de $F$ tel que $\varphi^* = \sum_{i=1}^{3} b_i h_i$.

Déterminer les constantes $b_i$ en fonction de $f$ pour que $\varphi^*$ soit la meilleure approximation de $f$ dans $F$ au sens des moindres carrées.

3) Prenons $f(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$, déduire alors sans calcul, la valeur de $\varphi^*$.

Pour approcher numériquement l'intégrale $I = \int_1^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$, on l'écrit sous la forme $I = I_\beta + I_\infty$

où $I_\beta = \int_1^{\beta} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ et $I_\infty = \int_\beta^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ ($\beta$ réel strictement positif), puis on prend $I \cong I_\beta$.

1. Déterminer $\beta$ pour que $I_\infty \le 0.2$.

2. On veut calculer $I_\beta$ par la méthode des trapèzes :

a) Exprimer en fonction de $M_2 = \max_{[0,\beta]} |f''(x)|$, le nombre $n$ d'itérations nécessaires pour calculer $I_\beta$ avec une erreur inférieure à $\varepsilon = 0.2$.

b) Trouver $M_2$ et en déduire $n$.

c) Donner une procédure générale pour calculer une intégrale sous forme $J = \int_a^b f(x)\,dx$.

d) Calculer l'intégrale $I_\beta$ à $0.2$ près, par la méthode des trapèzes.

3. Comparer alors le résultat obtenu avec la valeur exacte de $I$.