مسابقة دكتوراه 2017 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

Soit une fonction à valeurs réelles $u \in C^2(\mathbb{R})$ $2\pi$-périodique solution de l'équation différentielle

$$-u''(x) + u(x) = 0, \quad x \in \mathbb{R}.$$

1. Trouver le signe de $u(x_0)$ si $u$ atteint un maximum en $x_0 \in \mathbb{R}$.

2. Trouver le signe de $u(x_0)$ si $u$ atteint un minimum en $x_0 \in \mathbb{R}$.

3. Montrer que $u \equiv 0$.

Si $u \in L^1(\mathbb{R})$, sa transformée de Fourier est définie et notée par

$$\widehat{u}(\xi) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} u(x)e^{-ix\xi}\,dx.$$

On considère la fonction définie par $f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

1. Montrer en dérivant $\widehat{f}$ qu'on obtient une équation différentielle ordinaire, et trouver $\widehat{f}$.

2. En déduire la transformée de Fourier de la fonction donnée par

$$g(x) = \sqrt{\frac{\sigma}{t}}\,e^{-\frac{\sigma(x-y)^2}{t}},$$

où $\sigma > 0$, $t > 0$ et $y \in \mathbb{R}$ sont des constantes données.

Soit la fonction polynomiale $P$ d'ordre $m \in \mathbb{N}$,

$$P(z) = z^m + a_1 z^{m-1} + \ldots + a_{m-1}z + a_m, \quad z \in \mathbb{C} \text{ et les } a_j \in \mathbb{C}.$$

1. Trouver la fonction polynomiale $Q$ telle que

$$\frac{\tau^{m-1}}{P(\tau)} = \frac{1}{\tau}\left(\frac{1}{1 - Q\left(\frac{1}{\tau}\right)}\right).$$

2. Donner la preuve que

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\tau| = R} \frac{\tau^{m-1}}{P(\tau)}\,d\tau = 1,$$

où $R > 0$ est tel que $\{\tau \in \mathbb{C} : P(\tau) = 0\} \subset \{z \in \mathbb{C} : |z| < R\}$.