مسابقة دكتوراه 2017 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

1. Montrer que toute distribution à support compact appartient à un certain espace de Sobolev $H^s$, i.e.

$$\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n) \subset \bigcup_{s \in \mathbb{R}} H^s(\mathbb{R}^n).$$

2. Trouver les nombres réels $s$ tels que $\delta \in H^s(\mathbb{R}^n)$.

Soit la fonction $u_0 \in L^2(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R})$.

1. Vérifier que la fonction $u$ donnée par

$$u(t,x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \widehat{u_0}(\xi)\,e^{-t\xi^2}e^{ix\xi}\,d\xi, \quad t > 0, x \in \mathbb{R},$$

est solution du problème de Cauchy suivant

$$\begin{cases} \partial_t u - \partial_x^2 u = 0, \quad t > 0, x \in \mathbb{R} \\ u(0,x) = u_0(x), \quad x \in \mathbb{R} \end{cases}$$

2. Montrer que

$$\|u(t,\cdot)\|_{L^2(\mathbb{R})} \le \|u_0\|_{L^2(\mathbb{R})}, \quad \forall t > 0.$$

3. Sachant que si $f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$, alors $\widehat{f}(\xi) = \sqrt{2\pi}\,e^{-\frac{\xi^2}{2}}$, trouver le noyau $K_t$ tel que $u = u_0 * K_t$.

Soient $(H; (\cdot,\cdot))$ un espace de Hilbert et $A : H \to H$ une application linéaire vérifiant

$$(Ah, h) \ge 0, \quad \forall h \in H.$$

1. Soit $(x_n)_n$ une suite de $H$ convergente vers $0$, et supposons que $(Ax_n)_n$ converge vers $l \in H$.

a) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} (A(x_n + h), x_n) = 0$, $\forall h \in H$.

b) Montrer que $(l, h) + (Ah, h) \ge 0$, $\forall h \in H$.

(Remarquer que $(Ax_n + Ah, h) = (A(x_n + h), (x_n + h)) - (A(x_n + h), x_n)$)

c) Déduire que $l = 0$ (remplacer $h$ par $\varepsilon h$ dans b) et faire tendre $\varepsilon$ vers $0$).

2. En utilisant le théorème du graphe fermé, montrer que $A$ est continue.