مسابقة دكتوراه 2017 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi — الموضوع 01

Soit $(E, d)$ un espace métrique. Montrer que $d_1 = \dfrac{d}{1+d}$ est une distance sur $E$ topologiquement équivalente à $d$.

Soit $E = \left[\frac{2}{3}, +\infty\right[$ un sous-espace métrique de $\mathbb{R}$ et $f : E \to \mathbb{R}$ définie par

1. Montrer que $E$ est complet et que $f(E) \subset E$.

2. Montrer que $f$ est contractante et calculer l'unique point fixe $a$ de $f$.

3. En prenant $x_0 = \frac{2}{3}$, calculer $x_1, x_2, x_3, x_4$ et évaluer l'approximation de $a$ obtenue.

4. Si l'on prolonge $f$ à $\bar{f}$ comme suit

Montrer que $\bar{f}$ n'est pas contractante mais elle possède deux points fixes.

Soit $(X, d)$ un espace métrique et $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $X$.

1. Montrer que pour toute suite $(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres réels strictement positifs, il existe une sous-suite $(x_{\varphi_n})_{n \in \mathbb{N}}$ telle que

2. Montrer que si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergente, alors la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.