مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة سيدي بلعباس — الموضوع 01

On considère le tableau des données $X$ suivant :

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$

1. Donner le tableau des données centrées et réduites.

2. Déterminer la matrice des corrélations $\Gamma$.

3. Diagonaliser la matrice $\Gamma$. On note $\lambda_1$ et $\lambda_2$ ses valeurs propres avec $\lambda_1 > \lambda_2$.

4. Déterminer $F_i$ les axes factoriels (ACP normé). Donner le vecteur unitaire $u_i$ de chaque axe $F_i$. Vérifier que ces axes sont perpendiculaires.

5. Écrire la matrice diagonale des valeurs propres $\Lambda$ et calculer sa trace $\mathrm{tr}(\Lambda)$ et vérifier que $\mathrm{tr}(\Lambda) = \mathrm{tr}(\Gamma)$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur l'espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ à valeurs dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on désigne par $F^x$ la fonction de répartition conditionnelle de $Y$ sachant $X = x$, on suppose que $F^x$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue de densité $f^x$.

Étant donné $(X_1, Y_1), \ldots, (X_n, Y_n)$ une suite des observations de même loi que $(X,Y)$, on estime par la méthode à noyau la fonction de répartition conditionnelle $F^x$ par l'estimateur, noté $\widehat{F}^x$, défini par :

$$\widehat{F}^x(y) = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} K(h_K^{-1}(x - X_i))\,H(h_H^{-1}(y - Y_i))}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} K(h_K^{-1}(x - X_i))}, \quad \forall y \in \mathbb{R} \quad (1)$$

où $K$ est un noyau, $H$ est une fonction de répartition et $h_K = h_{K,n}$ (resp. $h_H = h_{H,n}$) est une suite de réels positifs. On déduit de $\widehat{F}^x$ un estimateur de la densité conditionnelle, noté $\widehat{f}^x$, défini par :

$$\widehat{f}^x(y) = \frac{h_H^{-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} K(h_K^{-1}(x - X_i))\,H^{(1)}(h_H^{-1}(y - Y_i))}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} K(h_K^{-1}(x - X_i))}, \quad \forall y \in \mathbb{R}. \quad (2)$$

Pour simplifier la notation, on pose

$$K_i(x) = K(h_K^{-1}(x - X_i))\ ,\ H_i(y) = H(h_H^{-1}(y - Y_i))$$

et

$$f_n(x) = \frac{1}{n h_K}\sum_{i=1}^{n} K_i(x)\ ,\ g_n^{(j)}(x,y) = \frac{1}{n h_H^j h_K}\sum_{i=1}^{n} K_i(x)H_i^{(j)}(y), \quad j = 0, 1.$$

Supposons que

(a) La fonction de répartition conditionnelle est $k+1$-fois continûment dérivable autour de $\mathcal{S}$, où $\mathcal{S}$ est un compact de $\mathbb{R}$.

(b) La densité de la variable explicative est strictement positive, et de classe $\mathcal{C}^k$ au voisinage de $x$.

(c) La fonction $H$ est strictement croissante, de dérivée bornée et d'ordre $k$, et telle que

$$\forall (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2, \quad |H^{(j)}(y_1) - H^{(j)}(y_2)| \le A|y_1 - y_2| ; \quad j = 0, 1.$$

(d) Le noyau $K$ est supposé d'ordre $k$ intégrable, d'intégrale égale à 1, borné et positif.

Montrer que

$$\sup_{y \in \mathcal{S}} |F^x(y)f(x) - \mathbb{E}g_n(x,y)| = \mathcal{O}(h_K^k + h_H^k). \quad (3)$$ $$\sup_{y \in \mathcal{S}} |f^x(y)f(x) - \mathbb{E}g_n^{(1)}(x,y)| = \mathcal{O}(h_K^k + h_H^k). \quad (4)$$