مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة سيدي بلعباس — الموضوع 01

Soit $Z = (X, Y)$ un couple aléatoire admettant pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$

$$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2}\exp\left(-\frac{2x^2 - 2xy + y^2}{2}\right)$$

1. Calculer la valeur de l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x-a)^2}\,dx$ pour $a \in \mathbb{R}$.

2. Déterminer les lois marginales des variables aléatoires $X$ et $Y$.

3. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

4. Pour $x \in \mathbb{R}$, calculer $\mathbb{E}(Y / X = x)$.

5. On pose $Z = X + Y$. Quelle est la loi du couple $(Z, X)$ ? En déduire la loi marginale de $Z$.

Soit $x_1, x_2, \ldots, x_n$ un échantillon empirique de la loi $P_\theta$ définie par la densité :

$$f_\theta(x) = \begin{cases} \theta(1-x)^{\theta - 1}, & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}$$

où $\theta$ est un paramètre positif inconnu.

1. Déterminer l'estimateur de maximum de vraisemblance de $\theta$.

2. Introduire la variable aléatoire $Z = -\mathrm{Log}(1 - X)$ et expliquer le résultat précédent.

3. En remarquant que $Z$ suit une loi exponentielle $\mathcal{E}(\theta)$, l'estimateur déterminé à la question 1 est-il sans biais ? Exhaustif ?