مسابقة دكتوراه 2017 — Université 20 Août 1955 - Skikda — الموضوع 01

Soit $(x_j)$, $0 \le j \le N+1$ une partition de $[0,1]$. On note $h_j = x_{j+1} - x_j$ et $h = \max_{0 \le j \le N} h_j$.

On désigne par $V_h$ l'espace des fonctions continues par morceaux sur $[0,1]$ et $r_h$ l'opérateur d'interpolation $P_1$ de $H^1(0;1)$ dans $V_h$, et soit $u \in C^1(0,1)$.

1°. Vérifier que $\forall x \in\ ]x_j, x_{j+1}[$ on a

$$(u - r_h u)'(x) = u'(x) - \frac{u(x_{j+1}) - u(x_j)}{h_j}$$

2°. Au voisinage de $u(x)$, déduire que $\forall x \in\ ]x_j, x_{j+1}[$ on a

$$(u - r_h u)'(x) = -\frac{1}{h_j}\int_{x_j}^{x}(x_j - s)u''(s)\,ds + \int_{x}^{x_{j+1}}(x_{j+1} - s)u''(s)\,ds$$

3°. En déduire que $\forall x \in\ ]x_j, x_{j+1}[$ on a

$$\left|(u - r_h u)'(x)\right|^2 \le \frac{2}{h_j^2}\left(\frac{(x_{j+1} - x)^3}{3} + \frac{(x - x_j)^3}{3}\right)\int_{x}^{x_{j+1}}|u''(s)|^2\,ds$$

4°. Déduire que pour tout $u \in H^2(0,1)$ on a la majoration

$$\|(u - r_h u)'\|_{L^2(0,1)} \le \frac{h}{\sqrt{3}}\|u\|_{H^2(0,1)}$$

Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels sur $k$. Soient $f$ une application linéaire de $E$ vers $F$ et $g$ une application linéaire de $F$ vers $E$, telles que

$$f \circ g \circ f = f \quad \text{et} \quad g \circ f \circ g = g.$$

Montrer que

$$E = \mathrm{Im}(g) \oplus \ker(f) \quad \text{et} \quad F = \mathrm{Im}(f) \oplus \ker(g).$$