مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

1. Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ et $u$ et $v$ deux vecteurs différents de $0_E$. Démontrer que $u$ et $v$ sont linéairement indépendants si et seulement si

$ \mathbb{K}u\cap\mathbb{K}v={0_E}.

2. Démontrer que le résultat ne s’étend pas à une famille de trois vecteurs ou plus.

Indication : si $(u,v)$ est un couple de vecteurs libre, alors les couples $(u,w)$ et $(v,w)$ sont également libres et

$
\mathbb{K}u\cap\mathbb{K}v=\mathbb{K}v\cap\mathbb{K}w=\mathbb{K}w\cap\mathbb{K}u=\{0_E\},

cependant la famille $(u,v,w)$ est liée.

3. On suppose que $(i,j,k)$ est une base de $E$. Démontrer qu’il en est de même de $(i,i+j,i+j+k)$. Donner les formules de changement de coordonnées.

Soit $(X,d)$ un espace métrique.

1. Montrer que toute boule ouverte est un ouvert.

2. Montrer que toute boule fermée est un fermé.

3. Soient $x\neq y$ deux points distincts de $X$. Montrer quΓÇÖil existe un voisinage $V_1$ de $x$ et un voisinage $V_2$ de $y$ tels que $V_1\cap V_2=\emptyset$.

4. Soit $(U_n)_n$ une suite d’éléments de $X$ qui converge vers une limite $a$. Montrer que l’ensemble

$ A={U_n:n\geq0}\cup{a}

est compact.

On considère l’EDP suivante :

$ \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2}+2a\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-c^2\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}=0,\qquad 0\leq x\leq\pi,\ t>0,

avec

$
u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0,\qquad u(x,0)=\varphi(x),\qquad \frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=0.

1. De quel type est cette équation ?

2. On suppose que la solution du problème peut s’écrire $u(x,t)=f(x)g(t)$. Trouver les équations différentielles ordinaires que satisfont $f$ et $g$.

3. Déterminer $f$ et $g$.

4. Si $a=0$, $c=1$ et $\varphi(x)=\sin(5x)+\sin(10x)$, trouver la solution $u(x,t)$.