مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

Considérons le problème

$ \begin{cases} \partial_tu=\partial_{xx}u, & (t,x)\in ]0,+\infty[\times\mathbb{R},\ u(0,x)=u_0(x), & x\in\mathbb{R}, \end{cases}

où $u_0(x)$ est une fonction donnée appartenant à l’espace $C_b(\mathbb{R})$ des fonctions bornées continues. Pour $t>0$ et $x\in\mathbb{R}$, on pose

$
K_t(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}.

1. Vérifier que la fonction $K_t$ est solution de l’équation.

2. Soit

$ u(x,t)=(K_t*u_0)(x)=\int_{\mathbb{R}}u_0(y)K_t(x-y),dy.

Déduire de la question précédente que cette expression est solution du problème.

3. Montrer que cette solution est continue.

4. Montrer que cette solution est $C^\infty(\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R})$.

5. Calculer cette solution pour

$
u_0(x)=\begin{cases}
0, & \lvert x\rvert\geq1,\\
T, & \lvert x\rvert<1,
\end{cases}

avec $T<0$.

6. Que peut-on remarquer par rapport à la condition d’existence de la solution ? Dans ce cas, que peut-on déduire pour l’équation de la chaleur ?

Aide :

$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-s^2}\,ds. ``$

Soient $T>0$, $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ et $\varepsilon>0$. Soit $u(t,x)\in C^2([0,T]\times[0,1])$ la solution de l’équation d’onde suivante :

$ \begin{cases} \varepsilon^2u_{tt}-u_{xx}=0, & x\in(0,1),\ t\in(0,T),\ u_x(t,1)-\alpha u(t,1)=0, & t\in(0,T),\ u_x(t,0)+\alpha u(t,0)=0, & t\in(0,T),\ u(0,x)=0,\quad u_t(0,x)=\frac{\varepsilon^{-\beta}}{1+x^2}, & x\in(0,1). \end{cases}

1. Rappeler les définitions de $H^1(]0,1[)$ et de sa norme.

2. Donner la formulation variationnelle du problème.

3. On définit l’énergie de la solution par

$
E(t)=\frac{1}{2}\left(\varepsilon^2\lVert u_t(t)\rVert_{L^2(0,1)}^2+\lVert u_x(t)\rVert_{L^2(0,1)}^2\right),\qquad t\geq0.

Démontrer que le signe de $\frac{d}{dt}E(t)$ est déterminé par le signe de $\alpha$.

4. On suppose dans la suite que $\alpha\leq0$. Démontrer l’unicité de la solution.

5. Démontrer que

$ E(0)\leq\frac{\pi}{8}\varepsilon^{2(1-\beta)}.

6. Pour quelles conditions sur $\beta$ peut-on avoir

$
\sup_{t\in[0,T]}\lVert u_x(t)\rVert_{L^2(0,1)}\to0\quad\text{si }\varepsilon\to0?

Même question pour

$\sup_{t\in[0,T]}\lVert u_t(t)\rVert_{L^2(0,1)}\to0\quad\text{si }\varepsilon\to0. ``$