مسابقة دكتوراه 2017 — Université 20 Août 1955 - Skikda — الموضوع 01

On dit qu'un opérateur $T : X \to Y$ entre deux espaces de Banach $X$ et $Y$ est de Dunford-Pettis si l'image par $T$ de toute suite faiblement convergente dans $X$ converge en norme dans $Y$.

1. Montrer que tout opérateur compact est de Dunford-Pettis.

2. Montrer que si $X$ est réflexif, alors tout opérateur de Dunford-Pettis est compact.

3. On considère l'opérateur de Volterra $V : L^1([0,1]) \to C([0,1])$ défini par

$$Vf(x) = \int_0^x f(t)\,dt\ , \quad f \in L^1([0,1]).$$

a. Montrer que $V$ est un opérateur de Dunford-Pettis.

b. Montrer que $V$ n'est pas compact (on pourra utiliser $f_n = n\,\mathbf{1}_{[0,1/n]}$).

1°. Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $\Omega = I \times \Omega_2$, où $I$ désigne un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $\Omega_2$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n-1}$. Soit $S$ un élément de $D'(\Omega_2)$ et $T = [1] \otimes S$. Montrer que

$$\frac{\partial}{\partial x_1}(T) = 0$$

2°. Soit $T$ de $D'(\Omega)$ vérifiant $\frac{\partial}{\partial x_1}(T) = 0$. Montrer que

$$\forall (\varphi, \psi) \in D(I) \times D(\Omega_2) : \langle T, \varphi \otimes \psi \rangle = C(\psi)\int_I \varphi(x)\,dx$$

En déduire l'existence de $S$ dans $D'(\Omega_2)$ tel que $T = [1] \otimes S$.