مسابقة دكتوراه 2000

التمرين 1

θ-schéma pour uₜ=uₓₓ : valeur de θ donnant l'ordre 2 en temps

#heat-equation#theta-scheme#crank-nicolson#finite-differences#consistency#order-of-accuracy

On s'intéresse à la résolution du problème d'évolution $(P)\quad\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2},& x\in\mathbb{R},\ t>0,\\ u(x,0)=u_0(x),& x\in\mathbb{R}.\end{cases}$ On considère le schéma de différences finies associé au problème $(P)$ qui s'écrit, avec les notations habituelles, $\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-\theta\,\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}-(1-\theta)\,\frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2}=0,$ où $\theta$ désigne un paramètre compris entre $0$ et $1$ . Déterminer la valeur de $\theta$ pour que le schéma soit d'ordre 2 en temps et en espace.

◀الحل

Analyse de consistance

On développe l'erreur de troncature en injectant la solution exacte, développée autour du point intermédiaire $(x_j,t_{n+1/2})$ .

En espace : le quotient centré $\dfrac{u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}}{(\Delta x)^2}=\partial_{xx}u+O((\Delta x)^2)$ : le schéma est d'ordre 2 en espace pour toute valeur de $\theta$ .

En temps : le $\theta$ -schéma évalue le terme de diffusion comme une combinaison $\theta(\cdot)^{n+1}+(1-\theta)(\cdot)^n$ . Le développement de Taylor autour de $t_{n+1/2}$ donne une erreur de troncature $\mathcal{E}=\Big(\theta-\tfrac12\Big)\Delta t\,\partial_t\partial_{xx}u+O\big((\Delta t)^2+(\Delta x)^2\big).$ Le terme en $\Delta t$ (ordre 1) s'annule si et seulement si $\boxed{\theta=\frac12.}$

Conclusion

Pour $\theta=\tfrac12$ on obtient le schéma de Crank-Nicolson, consistant d'ordre 2 en temps et 2 en espace (et inconditionnellement stable). Pour $\theta\neq\tfrac12$ le schéma n'est que d'ordre 1 en temps ( $\theta=0$ : Euler explicite ; $\theta=1$ : Euler implicite).