مسابقة دكتوراه 2000 — Université Badji Mokhtar

التمرين 1

Primitive d'une fonction Lᵖ : continuité et appartenance à W^{1,p}

#sobolev-spaces#absolute-continuity#Lp-spaces#weak-derivative#fundamental-theorem-of-calculus

Soit $g\in L^p(]-1,1[)$ avec $1\le p\le\infty$ et soit $x_0$ fixé dans $]-1,1[$ . On pose $u(x)=\int_{x_0}^{x}g(t)\,dt.$

Montrer que $u\in C(\bar I)$ .
Montrer que $u\in W^{1,p}(I)$ .
Soit $I=\mathbb{R}$ , $g=\chi_{[0,1]}$ et $u(x)=\int_0^x g(t)\,dt$ . $u$ appartient-elle à $W^{1,p}(]0,1[)$ ? Justifier votre réponse.

◀الحل

1. Continuité

Pour $x\le x'$ dans $\bar I$ , par Hölder ( $\tfrac1p+\tfrac1{p'}=1$ ) : $|u(x')-u(x)|=\Big|\int_x^{x'}g\Big|\le\|g\|_{L^p}\,|x'-x|^{1/p'}\xrightarrow[x'\to x]{}0.$ (Pour $p=1$ , la continuité vient de la continuité absolue de l'intégrale.) Donc $u\in C(\bar I)$ .

2. $u\in W^{1,p}(I)$

$u$ est bornée sur l'intervalle borné $I$ (par la question 1), donc $u\in L^p(I)$ . De plus, pour $\varphi\in\mathcal{D}(I)$ , une intégration par parties (Fubini) donne $\int_I u\,\varphi'=-\int_I g\,\varphi,$ donc $u'=g$ au sens faible, avec $g\in L^p(I)$ . Ainsi $u\in W^{1,p}(I)$ et $u'=g$ .

3. Cas $g=\chi_{[0,1]}$ sur $]0,1[$

Sur l'intervalle $]0,1[$ , $g\equiv1$ , donc $u(x)=x$ . Alors $u$ et $u'=1$ sont bornées sur $]0,1[$ , donc dans $L^p(]0,1[)$ pour tout $p$ . Par conséquent $\boxed{u\in W^{1,p}(]0,1[)\quad\text{pour tout }1\le p\le\infty.}$ (La discontinuité de $g$ est en $x=0$ , hors de l'ouvert $]0,1[$ ; sur cet ouvert $u$ est affine, donc parfaitement régulière.)

التمرين 2

Problème d'advection-diffusion −Δu+V·∇u=f : formulation variationnelle

#elliptic-pde#variational-formulation#lax-milgram#advection-diffusion#divergence-free-field#regularity

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ un ouvert régulier borné. On considère le problème : trouver une fonction $u$ telle que $(P)\quad\begin{cases}-\Delta u+V\cdot\nabla u=f&\text{dans }\Omega,\\ u=0&\text{sur }\partial\Omega,\end{cases}$ où $V:\Omega\to\mathbb{R}^n$ est une fonction continue donnée telle que $\mathrm{div}\,V=0$ et $f\in L^2(\Omega)$ .

Donner la formulation variationnelle $(F.V)$ de $(P)$ .
Établir la formule $\mathrm{div}(uV)=\nabla u\cdot V+u\,\mathrm{div}\,V$ .
Montrer que $(F.V)$ a une unique solution.
On suppose que $u\in H^2(\Omega)$ . Montrer que la solution de $(F.V)$ vérifie $(P)$ .

◀الحل

1. Formulation variationnelle

On multiplie par $v\in H^1_0(\Omega)$ et on intègre ; la formule de Green sur $-\Delta u$ (terme de bord nul car $v=0$ sur $\partial\Omega$ ) donne : trouver $u\in H^1_0(\Omega)$ tel que $a(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\int_\Omega (V\cdot\nabla u)\,v\,dx=\int_\Omega f v\,dx,\quad\forall v\in H^1_0(\Omega).\quad (F.V)$

2. Formule de la divergence d'un produit

Pour $u$ scalaire et $V$ champ de vecteurs, la règle de Leibniz composante par composante donne $\mathrm{div}(uV)=\sum_i\partial_i(uV_i)=\sum_i(\partial_i u)V_i+u\sum_i\partial_i V_i=\nabla u\cdot V+u\,\mathrm{div}\,V.\ \checkmark$

3. Existence et unicité (Lax-Milgram)

Continuité : $|a(u,v)|\le\|\nabla u\|\,\|\nabla v\|+\|V\|_\infty\|\nabla u\|\,\|v\|\le C\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ .

Coercivité : le terme de convection est antisymétrique grâce à $\mathrm{div}\,V=0$ . En effet, avec la question 2 et la formule de Stokes ( $v^2\in W^{1,1}_0$ ), $\int_\Omega(V\cdot\nabla v)\,v=\tfrac12\int_\Omega V\cdot\nabla(v^2)=\tfrac12\int_\Omega\big(\mathrm{div}(v^2V)-v^2\underbrace{\mathrm{div}\,V}_{=0}\big)=\tfrac12\int_{\partial\Omega}v^2\,V\cdot n=0.$ Donc $a(v,v)=\int_\Omega|\nabla v|^2=\|\nabla v\|_{L^2}^2$ . Par l'inégalité de Poincaré, $a(v,v)\ge\alpha\|v\|_{H^1}^2$ : $a$ est coercive.

La forme linéaire $v\mapsto\int f v$ est continue sur $H^1_0$ . Par le théorème de Lax-Milgram, $(F.V)$ admet une unique solution $u\in H^1_0(\Omega)$ .

4. Retour au problème fort

Si $u\in H^2(\Omega)$ , la formule de Green à rebours donne, pour tout $v\in H^1_0$ , $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v=-\int_\Omega(\Delta u)v,$ donc $(F.V)$ s'écrit $\int_\Omega(-\Delta u+V\cdot\nabla u-f)v=0$ pour tout $v\in H^1_0(\Omega)$ . Comme $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense, $-\Delta u+V\cdot\nabla u-f=0$ p.p. dans $\Omega$ , i.e. la première équation de $(P)$ . La condition $u=0$ sur $\partial\Omega$ vient de $u\in H^1_0(\Omega)$ (trace nulle). Donc $u$ vérifie $(P)$ .