مسابقة دكتوراه 2013 — Source inconnue — الموضوع 01

Intégrabilité

Pour $t\ge0$ et $x\ge0$ : $0\le f_t(x)\le\dfrac{1}{1+x^2}$, qui est intégrable sur $[0,+\infty[$. Donc $f_t\in L^1([0,+\infty[)$.

Continuité et dérivabilité

$(t,x)\mapsto f_t(x)$ est continue et dominée par $\frac1{1+x^2}\in L^1$, indépendante de $t$ : par le théorème de continuité des intégrales à paramètre, $F$ est continue sur $[0,+\infty[$.

Pour $t\ge a>0$, $\big|\partial_t f_t(x)\big|=\dfrac{x^2 e^{-tx^2}}{1+x^2}\le x^2 e^{-ax^2}\in L^1$ : dérivation sous le signe intégral, $F$ est $C^1$ sur $]0,+\infty[$ avec $F'(t)=-\int_0^{+\infty}\frac{x^2 e^{-tx^2}}{1+x^2}\,dx.$

Valeurs particulières

$F(0)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2},\qquad F(t)\xrightarrow[t\to+\infty]{}0\ \text{(convergence dominée).}$

Calcul de $F'(t)-F(t)$

$F'(t)-F(t)=-\int_0^{+\infty}\frac{(x^2+1)e^{-tx^2}}{1+x^2}\,dx=-\int_0^{+\infty}e^{-tx^2}\,dx=-\frac12\sqrt{\frac{\pi}{t}}.$

Détermination de $F$

On résout $F'(t)-F(t)=-\tfrac12\sqrt{\pi/t}$ sur $]0,+\infty[$ avec $F(0)=\pi/2$ et $F(+\infty)=0$. La solution bornée est $\boxed{F(t)=\frac{\pi}{2}\,e^{t}\,\mathrm{erfc}\!\big(\sqrt{t}\,\big)=\frac{\pi}{2}\,e^{t}\big(1-\mathrm{erf}(\sqrt t)\big).}$ Vérifications : $F(0)=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{erfc}(0)=\frac{\pi}{2}$, et $e^{t}\mathrm{erfc}(\sqrt t)\sim\dfrac{1}{\sqrt{\pi t}}\to0$ quand $t\to+\infty$.