مسابقة دكتوراه 2015 — Source inconnue

التمرين 1

Exercice 1 — Semi-groupe renormalisé, EDP canoniques et formulations variationnelles

#pde#semigroup#variational-formulation#distributions#functional-analysis

Sujet compilé à partir de plusieurs pages scannées mélangées montrant notamment :

une question sur une famille $T(t)$ de $C_0$ -semi-groupe vérifiant $\|T(t)\| \le M e^{\omega t}$ et la famille renormalisée $S(t)=e^{-\omega t}T(t)$ ;
une équation aux dérivées partielles du second ordre à ramener en forme canonique ;
un problème variationnel dans $H_0^1(a,b)$ avec forme bilinéaire $a(u,v)$ elliptique/coercive ;
un problème de distance à un ensemble dans un espace normé.

Donner les formulations rigoureuses visibles et les arguments principaux de résolution.

◀الحل

Le scan mélange plusieurs sujets incomplets. On retient les structures classiques visibles :

Si $\|T(t)\| \le Me^{\omega t}$ , alors $S(t)=e^{-\omega t}T(t)$ est un $C_0$ -semi-groupe uniformément borné par $M$ , de générateur $A-\omega I$ .
Pour une EDP du second ordre, on détermine le type via le discriminant $B^2-AC$ puis on choisit les coordonnées caractéristiques pour obtenir la forme canonique.
Pour un problème variationnel $a(u,v)=L(v)$ dans $H_0^1(a,b)$ , la continuité de $a$ et $L$ et la coercivité de $a$ assurent l'existence et l'unicité par Lax-Milgram.
La distance à un ensemble fermé non vide dans un espace normé est bien définie, 1-lipschitzienne, et l'application $x \mapsto d_A(x)$ est continue.

\boxed{\text{Sujet mixte incomplet, résolu par les schémas standards visibles sur le scan}}