مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 03

Soit le problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur :

$ \begin{cases} \partial_tu=c\partial_{xx}u, & x\in\mathbb{R},\ t>0,\ c>0,\ u(x,0)=f(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

1. On sait que, pour $f(x)$ continue et bornée, la solution du problème s’écrit comme :

$
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi ct}}\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4ct}}\,dy.

Y a-t-il dΓÇÖautres conditions dΓÇÖexistence pour cette solution ? Si oui, lesquelles ?

2. La solution $u(x,t)$ est-elle $C^\infty$ ? Si oui, démontrer.

3. Écrire la solution pour

$ f(x)=\begin{cases} 1, & x\geq 0,\ 0, & x<0, \end{cases}

sachant que

$
\operatorname{Erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-s^2}\,ds

est la fonction dΓÇÖerreur.

4. Que peut-on remarquer par rapport à la condition d’existence de la solution ?

Soit $\ell>0$ un nombre positif. Soit $Q=(0,+\infty)\times(0,\ell)$ et soit $u(t)=u(t,\cdot)$ la solution régulière du problème

$ \begin{cases} \partial_tu-\partial_{xx}u=0, & (t,x)\in Q,\ u(0,x)=\frac{1}{\ell^2}x(\ell-x), & x\in(0,\ell),\ u(t,0)=u(t,\ell)=0, & t\in(0,+\infty). \end{cases}

Le but de cet exercice est de démontrer que la solution décroît exponentiellement en $t$, sans résoudre l’EDP.

1. Calculer $\lVert u(0)\rVert_{L^2(0,\ell)}$.

2. Démontrer que

$
\frac{d}{dt}\left(\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}^2\right)=-2\lVert \partial_xu(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}^2.

3. Démontrer que

$ \lVert u(t)\rVert_{L^\infty(0,\ell)}\leq \sqrt{\ell}\lVert\partial_xu(t)\rVert_{L^2(0,\ell)},

et déduire que

$
\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}^2\leq \ell^2\lVert\partial_xu(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}^2.

4. En utilisant les résultats précédents, déduire que

$ \frac{d}{dt}\left(\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}^2\right)\leq -\frac{2}{\ell^2}\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}^2

et finalement que

$
\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,\ell)}\leq \sqrt{\frac{\ell}{30}}e^{-\frac{t}{\ell^2}},\quad \forall t\geq 0.
``$