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مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Probabiliés, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 17 octobre 2015, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Somme de lois binomiales indépendantes et loi conditionnelle

#binomial-distribution#sum-of-variables#conditional-distribution

Soient XX et YY deux variables aléatoires indépendantes de lois binomiales respectives B(n,p)\mathcal{B}(n,p) et B(m,p)\mathcal{B}(m,p), où n,m∈N∗n, m \in \mathbb{N}^* et 0<p<10 \lt p \lt 1, sur un espace de probabilité (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P).

  1. Montrer que la variable aléatoire X+YX + Y suit la loi binomiale B(n+m,p)\mathcal{B}(n + m, p).
  2. Quelle est la loi conditionnelle de XX sachant X+Y=kX + Y = k ?
◀الحل

1.

Par la formule des probabilités totales ou les fonctions génératrices, X+Y∼B(n+m,p)X+Y \sim \mathcal{B}(n+m, p).

2.

Pour 0≤j≤k0 \leq j \leq k :

P(X=j∣X+Y=k)=(nj)(mk−j)(n+mk)P(X=j \mid X+Y=k) = \frac{\binom{n}{j}\binom{m}{k-j}}{\binom{n+m}{k}}

X∣(X+Y=k)∼Hyp(n+m,n,k) (loi hypergeˊomeˊtrique)\boxed{X \mid (X+Y=k) \sim \mathcal{H}yp(n+m, n, k) \text{ (loi hypergéométrique)}}

التمرين 2

Exercice 2 — Inégalité de Jensen conditionnelle et opérateur d'espérance conditionnelle dans $L^p$

#conditional-expectation#Lp-spaces#jensen-inequality#projection

Soient (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P) un espace de probabilité et G\mathcal{G} une sous-tribu de F\mathcal{F}.

  1. Montrer que pour toute variable aléatoire Y∈Lp(Ω,F,P)Y \in L^p(\Omega, \mathcal{F}, P), p≥1p \geq 1 :

∥E(Y/G)∥Lp≤∥Y∥Lp\|E(Y/\mathcal{G})\|_{L^p} \leq \|Y\|_{L^p}

  1. En déduire que l'application φ:Lp(Ω,F,P)→Lp(Ω,G,P)\varphi : L^p(\Omega, \mathcal{F}, P) \to L^p(\Omega, \mathcal{G}, P) définie par φ(Y)=E(Y/G)\varphi(Y) = E(Y/\mathcal{G}) est un opérateur linéaire continu de norme 1, tel que φ∘φ=φ\varphi \circ \varphi = \varphi.
◀الحل

1.

Par l'inégalité de Jensen conditionnelle (∣⋅∣p|\cdot|^p est convexe pour p≥1p \geq 1) : ∣E(Y/G)∣p≤E(∣Y∣p/G)|E(Y/\mathcal{G})|^p \leq E(|Y|^p / \mathcal{G}) En prenant l'espérance : E[∣E(Y/G)∣p]≤E[∣Y∣p]E[|E(Y/\mathcal{G})|^p] \leq E[|Y|^p], d'où ∥E(Y/G)∥Lp≤∥Y∥Lp\|E(Y/\mathcal{G})\|_{L^p} \leq \|Y\|_{L^p}.

2.

φ\varphi est clairement linéaire. La norme est ≤1\leq 1 par la question 1 (atteinte pour YY G\mathcal{G}-mesurable). L'idempotence φ∘φ=φ\varphi \circ \varphi = \varphi découle de la tour : E(E(Y/G)/G)=E(Y/G)E(E(Y/\mathcal{G})/\mathcal{G}) = E(Y/\mathcal{G}).

التمرين 3

Exercice 3 — Fonctions caractéristiques et convergence en loi

#characteristic-functions#convergence-in-law#probability-in-law

Soient XX une v.a.r., (Xn)N(X_n)_{\mathbb{N}} et (Yn)N(Y_n)_{\mathbb{N}} deux suites de v.a.r.

  1. Montrer que, pour tous t∈Rt \in \mathbb{R}, α>0\alpha \gt 0 et n∈Nn \in \mathbb{N} :

∣ΦXn+Yn(t)−ΦXn(t)∣≤2P(∣Yn∣>α)+E ⁣[1]−∞,α](∣Yn∣) ∣eitYn−1∣]|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| \leq 2P(|Y_n| \gt \alpha) + E\!\left[1_{]-\infty,\alpha]}(|Y_n|)\,|e^{itY_n} - 1|\right]

où ΦZ\Phi_Z désigne la fonction caractéristique de la v.a.r. ZZ.

  1. Montrer que si (Xn)N(X_n)_{\mathbb{N}} converge en loi vers XX et (Yn)N(Y_n)_{\mathbb{N}} converge en loi (ou en probabilité) vers 0, alors la suite (Xn+Yn)N(X_n + Y_n)_{\mathbb{N}} converge en loi vers XX.
  2. À l'aide d'un exemple, montrer que l'on n'a pas nécessairement (Xn−X)N(X_n - X)_{\mathbb{N}} qui converge en loi vers 0.
◀الحل

1.

∣ΦXn+Yn(t)−ΦXn(t)∣=∣E[eitXn(eitYn−1)]∣≤E[∣eitYn−1∣]|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| = |E[e^{itX_n}(e^{itY_n}-1)]| \leq E[|e^{itY_n}-1|]. On décompose selon {∣Yn∣>α}\{|Y_n|\gt\alpha\} et {∣Yn∣≤α}\{|Y_n|\leq\alpha\} : sur le premier ensemble, ∣eitYn−1∣≤2|e^{itY_n}-1| \leq 2, d'où l'inégalité.

2.

Soit ε>0\varepsilon \gt 0. Choisir α0\alpha_0 tel que ∣eity−1∣≤ε|e^{ity}-1| \leq \varepsilon pour ∣y∣≤α0|y| \leq \alpha_0. Comme Yn→0Y_n \to 0 en loi (ou proba), pour nn assez grand P(∣Yn∣>α0)≤εP(|Y_n| \gt \alpha_0) \leq \varepsilon. Puis ∣ΦXn(t)−ΦX(t)∣≤ε|\Phi_{X_n}(t) - \Phi_X(t)| \leq \varepsilon par convergence de XnX_n. Donc ∣ΦXn+Yn(t)−ΦX(t)∣≤4ε|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_X(t)| \leq 4\varepsilon.

3.

Prendre XX symétrique (X=d−XX \overset{d}{=} -X) et Xn=−XX_n = -X pour tout nn. Alors Xn→XX_n \to X en loi mais Xn−X=−2X↛0X_n - X = -2X \not\to 0.

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