مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Statistique (2ème version), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 17 octobre 2015, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Perturbation d'une densité : vérification, moments et interprétation

#density-function#normal-distribution#moments#variance

Soit $f(x)$ une fonction de densité définie sur $\mathbb{R}$ . On définit une perturbation de $f(x)$ par

$f_{\varepsilon,b}(x) = (1-\varepsilon)f(x) + \frac{\varepsilon}{b}f\!\left(\frac{x}{b}\right),$

où $0 \lt \varepsilon \leq 0.05$ et $b \gt 1$ .

Montrer que $f_{\varepsilon,b}(x)$ est une fonction de densité.
Si $f(x)$ est la densité d'une distribution normale d'espérance 0 et de variance 1, calculer $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{Var}(X)$ , où $X \sim f_{\varepsilon,b}(x)$ .
Si $b = 3$ et $\varepsilon = 0.05$ , interpréter $f_{\varepsilon,b}(x)$ de la question 2 et la comparer avec $f(x)$ .

◀الحل

1.

$f_{\varepsilon,b}(x) \geq 0$ car $f \geq 0$ , $\varepsilon \in (0,1)$ . Pour l'intégrale : $\int f_{\varepsilon,b} = (1-\varepsilon)\int f + \frac{\varepsilon}{b}\int f(x/b)dx = (1-\varepsilon) + \varepsilon = 1$ (changement de variable $u = x/b$ ). ✓

2.

Si $X \sim f_{\varepsilon,b}$ , alors $E[X] = (1-\varepsilon)\cdot 0 + \varepsilon \cdot b \cdot 0 = 0$ .

$E[X^2] = (1-\varepsilon)\cdot 1 + \varepsilon \cdot b^2 \cdot 1 = 1 - \varepsilon + \varepsilon b^2$ .

$\boxed{\text{Var}(X) = 1 - \varepsilon + \varepsilon b^2 = 1 + \varepsilon(b^2-1)}$

3.

Pour $b = 3$ , $\varepsilon = 0.05$ : $\text{Var}(X) = 1 + 0.05 \times 8 = 1.4$ . La distribution est un mélange de $\mathcal{N}(0,1)$ (avec poids 0.95) et de $\mathcal{N}(0,9)$ (avec poids 0.05) — une distribution plus lourde de queue que la normale standard, modélisant des observations aberrantes rares.

التمرين 2

Exercice 2 — Moments empiriques de la moyenne d'un échantillon de taille 2

#empirical-moments#sample-mean#skewness#kurtosis

Soit $\overline{X}$ la moyenne empirique d'un échantillon $(X_1, X_2)$ d'une variable aléatoire $X$ centrée de $k^{\text{ème}}$ moment $\mu_k$ $(k \geq 1)$ . On désigne par $\mu_k(\overline{X})$ les moments d'ordre $k \geq 1$ de $\overline{X}$ .

Exprimer $\mu_k(\overline{X})$ pour $k = 1, ..., 4$ en termes des $\mu_k$ .
Exprimer les coefficients de dissymétrie et d'aplatissement $\gamma_1(\overline{X})$ et $\gamma_2(\overline{X})$ de $\overline{X}$ en termes de ceux de $X$ , qu'on note par $\gamma_1$ et $\gamma_2$ respectivement.
On suppose maintenant que $X$ est symétrique et on désigne par $M_k$ le moment empirique d'ordre $k$ $(k \geq 1)$ . Calculer $\mathbf{Cov}(M_1, M_2)$ .

◀الحل

1.

$\overline{X} = (X_1+X_2)/2$ avec $X_1, X_2$ iid de loi $X$ . $\mu_1(\overline{X}) = 0$ . $\mu_2(\overline{X}) = \mu_2/2$ . $\mu_3(\overline{X}) = \mu_3/4$ . $\mu_4(\overline{X}) = (\mu_4 + 3\mu_2^2)/4 - 3(\mu_2/2)^2 + 3(\mu_2/2)^2$ ... En développant : $\mu_4(\overline{X}) = \mu_4/8 + 3\mu_2^2/8$ .

2.

$\gamma_1(\overline{X}) = \mu_3(\overline{X})/[\mu_2(\overline{X})]^{3/2} = (\mu_3/4)/(\mu_2/2)^{3/2} = \gamma_1/\sqrt{2}$ . $\gamma_2(\overline{X}) = \gamma_2/2$ .

3.

$M_k = (X_1^k + X_2^k)/2$ . Comme $X$ est symétrique, $\mu_{2j+1} = 0$ . $\text{Cov}(M_1, M_2) = \frac{1}{4}[E(X_1 \cdot X_1^2) - E(X_1)E(X_1^2)] = \frac{1}{4}(\mu_3 - 0) = \boxed{0}$ (car $\mu_3 = 0$ ).

التمرين 3

Exercice 3 — Densité gamma, espérance, variance et intervalle de confiance

#gamma-distribution#confidence-interval#method-of-moments#central-limit-theorem

Soient $X_1, ..., X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de densité

$f_\lambda(x) = \begin{cases} \lambda^2 x \exp(-\lambda x) & \text{si } x \geq 0 \\\\ 0 & \text{si } x \lt 0 \end{cases}, \quad \lambda \gt 0.$

Calculer $\mu = \mathbf{E}(X_1)$ puis exprimer $\mathbf{Var}(X_1)$ en fonction de $\mu$ .
Construire un intervalle de confiance approché au niveau 95% pour $\mu$ basé sur $\sum_{i=1}^n X_i$ .

◀الحل

1.

On reconnaît $X_1 \sim \Gamma(2, \lambda)$ , donc $\mu = E[X_1] = 2/\lambda$ et $\text{Var}(X_1) = 2/\lambda^2 = \mu^2/2$ .

2.

Par le TCL, $\bar{X}_n \approx \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)$ avec $\sigma^2 = \mu^2/2$ . Un IC approché à 95% est :

$\boxed{\left[\bar{X}_n - \frac{1.96\,\bar{X}_n}{\sqrt{2n}},\; \bar{X}_n + \frac{1.96\,\bar{X}_n}{\sqrt{2n}}\right]}$

(en remplaçant $\sigma = \mu/\sqrt{2}$ par $\bar{X}_n/\sqrt{2}$ ).

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