مسابقة دكتوراه 2017 — جامعة تبسة — الموضوع 01

Soit $u \in L^p(I)$ avec $1 \le p \le +\infty$. Supposons qu'il existe une constante $c$ vérifiant : pour tout $\omega \subset\subset I$, et tout $h \in \mathbb{R}$, avec $|h| < \mathrm{dist}(\omega, I^c)$, on a :

$$\|\tau_h u - u\|_{L^p(\omega)} \le c|h|,$$

où $\tau_h u(x) = u(x + h)$.

Montrer qu'il existe une constante $c'$ telle que

$$\left|\int_I u\,\varphi'\right| \le c'\|\varphi\|_{L^{p'}(I)}, \quad \forall \varphi \in C_c^1(I).$$

Soit l'équation non linéaire : $f(x) = 0$, avec $f''(x) \neq 0$, $x \in [x_a, x_b]$.

Donner l'ordre de convergence de la méthode itérative suivante :

$$x_{n+1} = \frac{x_a y_n - x_n y_a}{y_n - y_a},$$

où $y_n = f(x_n)$ et $y_a = f(x_a)$.

1. Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, $E'$ et $F'$ ses duaux topologiques et soit $T : E \to F$ une application linéaire telle que

$$\forall f \in F', \quad f \circ T \in E'.$$

Montrer que $T$ est continue.

2. On munit $\mathbb{R}^n$ du produit scalaire usuel

$$\forall x, y \in \mathbb{R}^n,\ x = (x_1, \ldots, x_n),\ y = (y_1, \ldots, y_n) : \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i.$$

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz, montrer que :

$$\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|\right)^2 \le n\sum_{i=1}^{n} a_i^2, \quad \forall (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n.$$