مسابقة دكتوراه 2024 — Université 20 Août 1955 - Skikda — الموضوع 01

Soient $(E, \|\cdot\|)$ un espace de Banach et $T : E \to E$ un opérateur linéaire. On définit l'application

$$\|\cdot\|_T : E \to \mathbb{R}^+ ; \quad x \mapsto \|x\|_T = \|x\| + \|T(x)\|.$$

1- Montrer que $\|\cdot\|_T$ est une norme sur $E$.

2- Montrer que : $T$ borné $\iff$ $\|\cdot\|_T$ et $\|\cdot\|$ sont équivalentes.

3- Montrer que si $T$ est borné, l'espace $(E, \|\cdot\|_T)$ est un espace de Banach.

Dans cet exercice, les espaces seront complexes.

Soit $\varphi : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.

1- Montrer que la formule

$$(Af)(x) = \varphi(x) \int_0^1 \varphi(t) f(t)\,dt$$

définit une application linéaire continue de l'espace $L^2([0,1])$ dans lui-même.

2- Montrer que $A$ est auto-adjoint : $A^* = A$.

3- Montrer qu'il existe $\lambda \ge 0$, que l'on précisera, tel que $A^2 = \lambda A$.

4- Déterminer le rayon spectral de $A$ en fonction de $\lambda$ ; le calculer pour $\varphi(x) = \dfrac{x}{1+x}$.

Soit $r \in ]-1, 1[$ et $H_r^1(\mathbb{R}^d)$ un espace de Hilbert à poids défini par :

$$H_r^1 = \left\{ v \,/\, \int_{\mathbb{R}^d} \left( |\nabla v|^2 + |v|^2 \right) (1 + |x|^2)^r\,dx < +\infty \right\}.$$

1. Déduire le produit scalaire de cet espace.

2. Déduire la norme associée à cet espace.

3. Soit $f$ satisfaisant $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} f^2(x) (1 + |x|^2)^r\,dx < \infty$. On considère le problème

$$-\Delta u + u = f \quad \text{dans } \mathbb{R}^d. \qquad (P)$$

a) Trouver la formulation variationnelle (PV) du problème $(P)$.

b) Utiliser Lax-Milgram pour montrer que $(P)$ admet une unique solution $u \in H_r^1$.