مسابقة دكتوراه 2024 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

Soit $f \in L^2(]0,1[)$. On considère le problème aux limites suivant :

$$(P) \begin{cases} -2u''(x) + x u(x) = f(x) & \text{dans } I = ]0,1[, \\ u(0) = 0, \; u'(1) = 0. \end{cases}$$

1. Donner une formulation variationnelle (notée $(V_P)$) du Problème $(P)$.

2. Montrer que le problème $(V_P)$ admet une unique solution $u$.

3. Montrer que la solution $u$ du Problème $(V_P)$ est dans $H^2(I)$ et est solution du Problème $(P)$.

On rappelle que pour $f \in L^1(\mathbb{R})$, la transformée de Fourier de $f$, notée $\widehat{f}$, est donnée par :

$$\widehat{f}(\xi) = (\mathcal{F}f)(\xi) = \int_{\mathbb{R}} e^{-ix\xi} f(x)\,dx, \quad \forall \xi \in \mathbb{R}.$$

1. Soit $a > 0$. Calculer la transformée de Fourier de la fonction $g_a = \mathbb{1}_{[-a,a]}$ (fonction indicatrice de l'intervalle $[-a, a]$).

2. Montrer que pour $f, g \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ (espace de Schwartz) et $\xi \in \mathbb{R}$, on a

$$\widehat{fg}(\xi) = \frac{1}{2\pi} \left( \widehat{f} \star \widehat{g} \right)(\xi).$$

3. Montrer que si $f$ et $g$ sont dans $L^2(\mathbb{R})$, la relation $\widehat{fg}(\xi) = \dfrac{1}{2\pi} \left( \widehat{f} \star \widehat{g} \right)(\xi)$ est également vérifiée, pour tout $\xi$ dans $\mathbb{R}$.

4. Pour $f$ dans $L^2(\mathbb{R})$ et $x$ dans $\mathbb{R}$, on pose

$$(Pf)(x) = \frac{1}{\pi} \int_{\mathbb{R}} f(x - y) \frac{\sin(y)}{y}\,dy.$$

(a) Montrer que $Pf$ est bien défini sur $\mathbb{R}$.

(b) Montrer que $Pf$ est continu sur $\mathbb{R}$.

(c) Montrer que $Pf \in L^2(\mathbb{R})$ et que $\|Pf\|_{L^2(\mathbb{R})} \le \|f\|_{L^2(\mathbb{R})}$.

(d) Montrer que $P(Pf) = Pf$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|^\alpha$, où $\alpha \in ]-1, 0[$.

1. Montrer que $f$ définit une distribution sur $\mathbb{R}$, notée $T_f$.

2. Déterminer la dérivée de $f$ au sens classique sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. La fonction $f'$ définit-elle une distribution sur $\mathbb{R}$ ?

3. Montrer que la dérivée de $f$ au sens des distributions est donnée par

$$\left\langle (T_f)', \varphi \right\rangle = \int_0^{+\infty} \alpha x^{\alpha - 1} \left( \varphi(x) - \varphi(-x) \right) dx, \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$$

4. Soit maintenant $\alpha > 0$. Déterminer $(T_f)'$.

5. La fonction $x \mapsto \ln|x|$ définit-elle une distribution sur $\mathbb{R}$ ? Si oui, calculer sa dérivée au sens des distributions.