مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1

Soit $H = L^2[0, 1]$ et $T : H \to H$ définie par

$Tf(x) = \int_0^x (x-t)f(t)dt$

1. Montrer que $\|T\| < 1$ et que pour $n \geq 1$,

$T^n f(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^{(2n-1)}}{(2n-1)!} f(t)dt,$

où $T^n = T \circ T \circ \ldots \circ T$.

2. Résoudre l'équation intégrale, avec $g \in H$ donnée et $f \in H$ l'inconnue

$f(x) = g(x) + \int_0^x (x-t)f(t)dt$

Indication: $(I - T)^{-1} = \sum_{n \geq 0} T^n$ si $\|T\| < 1$.

Soit $H$ un espace Hilbertien et $A$ un opérateur linéaire continu tel que: $\|A\| \leq 1$. On considère l'ensemble

$E = \{x \in H : Ax = x\}.$

1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$.

2. On note par $A^*$ l'adjoint de $A$, montrer que $\|x\|^2 = <x, A^*x>$, $\forall x \in E$.

3. En déduire que:

i) $\|A^*x\| = \|x\|$, $\forall x \in E$.

ii) $A^*x = x$, $\forall x \in E$.

iii) $E = \mathrm{Ker}(I - A^*)$.

4. Montrer que $[(I - A)(H)]^\perp = E$ (Indication: $(\mathrm{Im}\,A)^\perp = \mathrm{Ker}\,A^*$).

Soit le problème suivant :

$(P) \left\{\begin{array}{l} \cos(x) u''(x) - \sin(x) u'(x) - xu(x) = 1, x \in I = \left]0; \frac{\pi}{6}\right[ \\ u'(0) = -u(0), u\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0. \end{array}\right.$

1. Montrer qu'il existe $C_p > 0$ tel que:

$\|w\|_{L^2\left[0; \frac{\pi}{6}\right]} \leq C_p \left\|\frac{d}{dx}w\right\|_{L^2\left[0; \frac{\pi}{6}\right]}, \quad \forall w \in H^1\left(\left]0; \frac{\pi}{6}\right[\right) \text{ et } w\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0.$

2. Écrire la formulation variationnelle du $(P)$, c'est à dire trouver un espace vectoriel $H$ (ainsi le produit scalaire), une forme bilinéaire $a : H \times H \to \mathbb{R}$ et une forme linéaire $L : H \to \mathbb{R}$ de telle sorte que toute solution $u$ de $(P)$ satisfasse la formulation variationnelle suivante :

$(P_V) \left\{\begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H, \\ a(u; v) = L(v), \forall v \in H. \end{array}\right.$

3. Discuter le résultat d'existence et d'unicité de $(P_V)$.

4. Déterminer les estimations pour la stabilité de la solution de $(P_V)$.