مسابقة دكتوراه 2023 — Université Amar Telidji - Laghouat

(1) Appliquer la méthode de décomposition d'Adomian (MDA), pour résoudre l'équation intégrale suivante :

$u(x) = 1 - x - \frac{1}{2}x^2 - \int_0^x (t-x) u(t) dt.$

(2) Sans transformer l'équation intégrale :

$\int_0^x \cos(t-x) \varphi(t) dt = x, \quad x > 0. \quad (1)$

à la deuxième espèce, résoudre $(1)$.

(1) Supposons qu'une fonction positive deux fois différentiable $\varphi(t)$ vérifie :

$\varphi''\varphi - (\varphi')^2 \geq 0, \quad 0 \leq t < T, \quad (2)$

avec $\varphi(0) > 0$. En admettant que si $\varphi$ satisfait $(2)$ et que $\varphi(t)$ s'annule en un point $t_0$ de $[0, T]$, alors $\varphi(t)$ doit s'annuler identiquement dans $[0, T]$. En utilisant une fonction convexe convenable, justifier les inégalités suivantes :

$\varphi(t) \leq [\varphi(0)]^{1-t/T} \varphi(T)^{t/T}, \quad (3)$

$\varphi(t) \geq \varphi(0) \exp\{\varphi'(0)t/\varphi(0)\}. \quad (4)$

(2) Soit $H$ un espace de Hilbert réel de produit scalaire $(,)$ et de norme $\|\cdot\|$. Soit $D \subset H$ un sous-domaine dense de $H$, et soient $M$ et $N$ des opérateurs linéaires de $D$ dans $H$. Nous nous intéressons ici au problème suivant :

$M\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + Nu = 0, \quad t \in [0, T], \\ u(0) = u_0, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(0) = u_1(0) = v_0. \quad (5)$

Nous supposons pour simplifier que les opérateurs $M$ et $N$ ainsi que le sous-domaine $D$ ne dépendent pas du paramètre $t$. Nous supposons en outre que :

(i): $N$ et $M$ sont symétriques, avec $M$ est défini positif;

(ii): $u \in C^1([0, T], H)$;

(3) Nous utilisons une variante de l'argument de la convexité logarithmique pour étudier les questions d'unicité et de dépendance continue. Pour cela, nous avons fixé

$G(t) = (u, Mu) + \beta(t + t_0)^2, \quad (7)$

où $\beta$ et $t_0$ sont des contraintes positives à déterminer.

(a) Par la différenciation de $(7)$ deux fois, montrer que la fonction $G$ vérifie :

$GG'' - (G')^2 = 4\left\{[(Mu, u) + \beta(t+t_0)^2][(Mu_t, u_t) + \beta] - [(Mu, u_t) + \beta(t+t_0)^2]^2\right\} - [2\beta + 4E(0)]G(t). \quad (8)$

(b) Par l'inégalité de Schwarz appliquée au premier terme droit de $(8)$, vérifier l'inégalité

$GG'' - (G')^2 \geq -[2\beta + 4E(0)]G(t). \quad (9)$

De cette inégalité, nous pourrons lire les résultats d'unicité, de croissance et de dépendance continue comme suit.

(4) Unicité. Nous devons montrer ici que $u_0 = v_0 = 0$ implique $u(t) \equiv 0$. Montrer dans ce cas que

$GG'' - (G')^2 \geq 0. \quad (10)$

Utiliser $(3)$ pour déduire que $u \equiv 0$ dans $[0, T]$.

(5) Croissance. Supposons que $T = \infty$. Nous allons étudier comment les solutions peuvent croître ou décroître quand $t \to \infty$. Prouver qu'on a

(i): Toute solution faible de $(5)$ qui existe pour tout temps doit croître exponentiellement en norme lorsque $t \to \infty$ si la donnée initiale satisfait $E(0) < 0$.

(ii): Toute solution faible de $(5)$ qui existe pour tout temps et pour laquelle $E(0) > 0$, doit croître exponentiellement en norme lorsque $t \to \infty$, ou bien pour $t$ suffisamment grand, $\|u\|$ ne peut pas croître plus rapidement que $O(t^{1+\varepsilon})$ pour $\varepsilon$ arbitrairement petit.